Lösen Sie folgende Integrale: Integral von (ln x) ^2

Question

Integral von (ln x) ^2

Komme nicht weiter.

Answer 1

Hallo

hier mußt Du 2 Mal partiell integrieren

=x ln^2(x) -2 int ln(x) dx

=x ln^2(x)-2x ln(x) +2 int 1dx

Ergebnis:x(ln^2(x) -2 ln(x) +2) +C

Answer 2

Hi,
hier musst Du zweimal partielle Integration anwenden und die Substitution \( z = ln(x) \) vewenden. Das Integral wird dann wie folgt gelöst
$$ \int \left[ ln(x)^2 \right] dx = \int z^2 e^z dz $$ was wegen \(  z = ln(x) \) und \( dx = dz \cdot x = dz \cdot e^z  \) gilt.
Das Integral \(  \int z^2 e^z dz \) wird mittels partieller Integration gelöst mit den Festlegungen \( u' = e^z \) und \( v = z^2  \).
Damit ergibt sich \(  \int z^2 e^z dz = e^z z^2 - 2 \cdot \int z e^z dz  \). Jetzt nochmal partiell integrieren mit \( u' = e^z \) und \( v = z \) ergibt
$$ \int z^2 e^z dz = e^z z^2 - 2 z e^z +2 e^z  $$
Rücksubstitution ergibt
$$ 2x \cdot \left( \frac{\left[ ln(x) \right]^2}{2} - ln(x) + 1 \right)  $$