Polynom C-Vektorraum Beweis

Question

Aufgabe:

Seien

\( P_{3}^{\mathrm{C}}=\left\{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}: a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{C}\right\} \)

\( Q_{3}^{\mathrm{C}}:\left\{p \in P_{3}^{\mathrm{C}}: p\right. \) ist ein gerades Polynom, d.h. \( p(-t)=p(t) \) für alle \( \left.t\right\} \)

(i) Zeige, dass \( P_{3}^{\mathrm{C}} \) ein \( \mathbb{C} \)-Vektorraum ist und bestimme dessen Dimension.

(ii) Zeige, dass \( Q_{3}^{\mathrm{C}} \) ein \( \mathbb{C} \)-Unterraum von \( P_{3}^{\mathrm{C}} \) ist und bestimme dessen Dimension.

Könnte mir jemand die entsprechenden Beweise erklären?

Answer 1

Musst du halt die ganzen VR-Axiome durchgehen und anschließend zeigen, dass 1, t, t^2, t^3 linear unabhängig sind und den Vektorraum erzeugen, also dim=4.

Die Geraden sind nur die mit a0 + a2 t^2 und das hat dim=2.

Comments

Oke leider komme ich immernoch nicht voran, wir hatten in der Vorlesung nur reelle Zahlen für die VR-Kriterien benutzt und wenn ich das richtig sehe, meint man in der Aufgabe ein komplexes Polynom?

Könntest du den Vorgang am ersten VR-Kriterium zeigen, sodass ich den Ansatz finde und den Rest (hoffentlich) alleine schaffe?