Spannt ein Polynom mit Addition und Skalarmultiplikation einen Vektorraum auf?

Question

kann mir jemand die folgende Aufgabe (erklärend) vorrechnen?

"Die Menge aller Polynome mit reellem Koeffizienten vom Grad 2 ist definiert durch:

P₂[x] = {ax²+bx+c | a, b, c ∈ ℝ}.

Zeigen Sie, dass P₂[x] zusammen mit (p₁+p₂)(x) := (a₁+a₂)x²+(b₁+b₂)x+(c₁+c₂) als Addition und (λp)(x)=λax²+λbx+λc als Skalarmultiplikation für λ ∈ ℝ einen Vektorraum bildet.

Vielen Dank!

Answer 1

Mit "Aufspannen" hat das nicht viel zu tun.

Die gegebene Menge P₂(x) und die definierte Addition und S-Multiplikation

BILDEN einen Vektorraum.

Um das zu zeigen, musst du alle VR-Axiome dafür nachprüfen.

z.B.  Assoziativität :

Seien p,q,r Elemente vonP₂[x] . Dann ist zu zeigen (p+q)+r = p+(q+r) .

Dazu wendest du einfach die Definitionen an:

Da p,q,r Elemente vonP₂[x]  gibt es a1,b1,c1 ∈ℝ mit p=a1x^2+b1x+c1

 und  es gibt a2,b2,c2 ∈ℝ mit q=a2x^2+b2x+c2

und  es gibt a3,b3,c3 ∈ℝ mit r=a3x^2+b3x+c3.

Dann ist nach Def. von + in diesem Vektorraum

p+q =  (a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2) , also

(p+q) + r =( (a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2)) + r

und wieder nach der Def. von +

           =( (a1+a2)+a3)x^2+((b1+b2)+b3)x+((c1+c2)+c3)

und weil die a1,a2,a3,b1,b2,.... alle aus ℝ sind und dort

Assoziativität für + gilt ist das

          =(a1+(a2+a3))x^2+(b1+(b2+b3))x+(c1+(c2+c3))

jetzt wendest du die Def. von + im Vektorraum rückwärts an

und bekommst

        = p +  (   (a2+a3)x^2+(b2+b3)x+(c2+c3)  )

und in der Klammer. das ist wieder nach Def- von +

ja gerade q+r, also hast du

     = p + (q+r)           q.e.d

In dieser Art kannst du die Gültigkeit aller Vektorraumaxiome

für  ( P₂[x], + , * ) beweisen.

Ist viel Schreibarbeit !

Comments

Wow, vielen Dank für die Hilfe, das war wirklich erklärend!
Dann setze ich mich gleich nochmal 'ran um alles nachzuvollziehen.
Danke nochmal!

Answer 2

hallo

 der Beweis steht doch schon fast da. du musst nur die 3 VR Axiome als erfüllt zeigen, 2 Polynom 2. Grades addiert ergibt wieder ein Polynom 2. Grades , eines mit r multipliziert auch und die 0 also das pol p(x)=0 gehört auch dazu.

Gruß lul