2 Geraden mit Kuppenausrundung R=10 zu x^2

Question

Aufgabe:

Gegeben seien zwei Straßenverläufe T1(x) = 0,2*x und T2(x) = 2,5-0,05*x.
Bestimmen Sie bitte die Funktion f(x) = ax^2 + bx + c, die die Kuppenausrundung mit vorgegebenem Radius R= 10 beschreibt.
Zeichnen Sie bitte T1, t2 und f(x) sowie den zugehörigen Krümmungskreis.

Problem/Ansatz:

leider komme ich mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar, ich komme nicht weiter als die 2 Geraden zu zeichnen.
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie mir der Radius hilft die Funktion zu bilden.
Vielen Dank!

Comments

Vielleicht kann man sich das ganze wie folgt vorstellen. Bin aber auch nicht ganz sicher ob das so gemeint ist. Ich würde es aber so machen.

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Für die Parabel komme ich auf sowas:

: ~plot~ 0.2*x;2.5-0.05*x;0.1*x^2-1.925*x+11,2891;[[0|20|0|3]] ~plot~

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Ich denke deine Parabel hat einen Krümmungskreisradius von r = 5 und nicht von r = 10.

Wenn du das Koordinatensystem Maßstabsgetreu gezeichnet hättest, dann hätte man das besser sehen können. So sieht man das leider nicht.

Bei mir kannst du den Krümmungskreis mit dem Radius 10 besser sehen.

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f(x)  =  -1/20 x^2 + 43/40 x - 245/64

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f(x) = -1/20·x^2 + 43/40·x - 245/64

Genau. Das wäre die zweite Lösung oder die Lösung, die sogar mehr Sinn macht, wenn man das Wort Kuppe richtig interpretiert.

Die Lösung entsteht dann ja einfach durch Punktspiegelung am Schnittpunkt der Geraden S(10 | 2).

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Danke schon einmal für Eure Antworten!
Die Funktion f(x)  =  -1/20 x2 + 43/40 x - 245/64 ist anscheinend richtig, da diese ja die beiden geraden berührt.

Leider komme ich dennoch nicht weiter.
Wie bekomme ich denn den x wert wo die Parabel die Gerade schneidet, ohne die Funktion der Parabel zu kennen?
Und wie hilft mir der Radius des Krümmungskreises dabei?

Stehe wieder auf dem Schlauch... Immerhin habe ich den Schnittpunkt der beiden Geraden schonmal berechnet welcher bei S(10|2) liegt.

Die Antwort von Oswald habe ich mir auch angeschaut und das ist sicher auch der Lösungsansatz, nur leider kann ich es nicht umsetzen.

Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen :)

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Ich habe mir zunächst einfach nur überlegt wie eine Parabelgleichung aussehen müsste, damit sie einen Krümmungskreis mit dem Radius 10 hat.

Kannst du diese Frage beantworten?

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Leider nein...

Hab Mal gegoogelt aber versteh es nicht wirklich.

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Also ich habe zunächst nur die Parabel

f(x) = a·x^2 genommen. Das ist die einfachste mit dem Scheiten im Ursprung. Wie groß muss a sein, damit der Krümmungskreis den Radius 10 besitzt.

Diese Bedingung gibt eine Gleichung mit der Unbekannten a welche du nach a auflösen kannst.

Wenn die Kuppe jetzt als Berg zu verstehen sein soll musst du noch das negative a wählen, welches diese Bedingung erfüllt.

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Ich habe mich jetzt mal versucht anhand eines Beispieles welches ich gefunden habe zu orientieren - was glaube ich auch ganz gut funktioniert hat.

Leider verstehe ich nicht genau, wie ich mit dem "e" umgehen soll, da ja in einer normalen Funktion einfach a, b eingesetzt wird, wenn ich c ausrechnen möchte.

In dem Beispiel kommt für c folgendes raus:
c = 1,44 - 0,0128R - 40,5/R

Leider komme ich da überhaupt nicht drauf... 

Wenn ich c habe, wäre die Aufgabe ja schon gelöst, also fast am Ziel, ich muss es dann nur noch auf mein Beispiel anwenden :)

Danke für deine Hilfe!

Answer 1

An einer Stelle x₁ berührt die Parabel die Gerade t₁. Das heißt

(1)        t₁(x₁) = f(x₁)
(2)        t₁'(x₁) = f'(x₁).

An einer Stelle x₂ berührt die Parabel die Gerade t₂. Das heißt

(3)        t₂(x₂) = f(x₂)
(4)        t₂'(x₂) = f'(x₂).

Für den Krümmungsradius r(x) des Funktionsgraphen von f an der Stelle x gilt

        r(x) = -(1 + f'(x)²)^3/2 / f''(x).

Das Minuszeichen kommt daher, dass f konkav ist (also f''(x) < 0) aber r(x) > 0 sein soll.

Wenn du für den Funktionsterm von f die Scheitelpunktform

        f(x) = a(x-d)² + e

verwendest, dann gilt

(5)        r(d) = 10.

Löse das Gleichungssystem.