Vektorraum mit Skalarmultiplikation und Addition. Zeigen Sie beispielhaft die Distributivgesetze.

Question

Sei \( \mathbb{R}^{\mathrm{N}} \) die Menge der Folgen \( x=\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von reellen Zahlen. Wir definieren die Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise:
$$ \begin{array}{l} {+: \mathbb{R}^{\mathrm{N}} \times \mathbb{R}^{\mathrm{N}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathrm{N}}, \quad\left(x_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}+\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}} \\ {\therefore: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{\mathrm{N}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathrm{N}}, \quad \lambda \cdot\left(x_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}:=\left(\lambda x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}} \end{array} $$
Mit diesen Verknüpfungen ist \( \mathbb{R}^{\mathrm{N}} \) ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum. Zeigen Sie beispielhaft die Distributivgesetze.

Answer 1

Eines wäre ja dann

$$λ\cdot((x_{n})_{n \in \mathrm{N}}+(y_{n})_{n \in \mathrm{N}})=λ\cdot(x_{n})_{n \in \mathrm{N}}+λ\cdot(y_{n})_{n \in \mathrm{N}}$$

Zeige einfach, dass das mit der gegebenen Def. passt. Etwa so:

$$λ\cdot((x_{n})_{n \in \mathrm{N}}+(y_{n})_{n \in \mathrm{N}})$$

Def. von + gibt

$$= λ\cdot(x_{n}+y_{n})_{n \in \mathrm{N}}$$

Def. von S-Mult. gibt

$$= (λ\cdot(x_{n}+y_{n}))_{n \in \mathrm{N}}$$

Dist. für reelle Zahlen gibt

$$= (λ\cdot x_{n}+λ\cdot y_{n})_{n \in \mathrm{N}}$$

Jetzt Def. von + rückwärts anwenden

$$= (λ\cdot x_{n})_{n \in \mathrm{N}} + (λ\cdot y_{n})_{n \in \mathrm{N}}$$

und S-Mult. rückwärts

$$=λ\cdot( x_{n})_{n \in \mathrm{N}} + λ\cdot (y_{n})_{n \in \mathrm{N}}$$

q.e.d.