Entscheide, ob eine Abbildung derart existiert, dass V mit · als Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum wird

Question

Aufgabe:

Entscheide für jedes der folgenden Paare \( (K, V) \) aus einem Körper \( K \) und einer abelschen Gruppe \( V \), ob eine Abbildung \( \cdot: K \times V \rightarrow V \) derart existiert, dass \( V \) mit \( · \) als Skalarmultiplikation ein \( K \)-Vektorraum wird. Beweise deine Antworten.

(a) \( K=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}, V=(\mathbb{Q},+) \)

(b) \( K=\mathbb{Q}, V \neq\{0\} \) endlich

(c) \( K=\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}, V=\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z} \)

(d) \( K=\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}, V=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \)

(e) \( K=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}, V=(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z})^{\times} \)

Problem:

Ich versteh nicht, was erwartet wird. Bei der a) z.B.: K hat ja nur die Elemente 0 und 1. Reicht es dann, wenn ich einfach die 4 Axiome der Skalarmultiplikation nachrechne? Dann würde ich sagen, dass die zutreffen, oder?

Answer 1

Ich versteh nicht genau, was hier von mir erwartet wird. Bei der a) z.B.: K hat ja nur die Elemente 0 und 1. Reicht es dann, wenn ich einfach die 4 Axiome der Skalarmultiplikation nachrechne? Weil dann würd ich sagen, dass die zutreffen, oder?

Du sollst ja erst mal sagen, wie du die Skalarmult. definierst:

Du hast offenbar ganz klassisch  0*q = 0   und 1*q = q definiert. und dann klappt es in der Tat.

Comments

Muss ich die Skalarmultiplikation nicht allgemein fprmulieren? Oder wie rechne ich sonst z.B. das Axiom nach, dass a*(x+y) = ax+ay gilt? Soll ich da für a jeweils 0 und 1 einsetzen und das zeigen?

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was ist mit

a=b=1, a,b∈K, x∈V

x*(1+1)=x*0=0≠x*1+x*1 für x≠0

oder werden a und b über V addiert?