Definiert man Addition und Skalarmultiplikation, so wird B(M) ein reeller Vektorraum

Question

Sei M ⊂ R, M ≠ ∅, und sei B(M) die Menge der beschränkten Funktionen f : M → R. Zeigen
Sie:

Definiert man Addition und Skalarmultiplikation, so wird B(M)
ein reeller Vektorraum.

Ich habe keine Idee, wie muss man das beweisen. Jede Hilfe wird von Vorteil sein.

:)

Comments

Hi, wir tun in eine Menge alle beschränkte Funktionen mit Definitionbereich M und Bildbereich R rein. 
Dabei heißt beschränkt dass für alle x aus M |f(x)| stets endlich ist, also irgendeine reelle Zahl.
Wir wollen diese Menge B(M) zu einem Vektorraum machen.
Also bräuchten wir ein Kandidaten für Addition und skalare Multiplikation.
Zu zwei Elementen f,g aus B(M) definieren wir ihre Summe als neue Funktion f+g, diese definieren wir Punktweise als
(f+g)(x)=f(x)+g(x), so wird f+g definiert. Dir bleibt nur zu überprüfen, dass es Sinn macht. Nämlich, ob f+g überhaupt in der Menge B(M) liegt.

Desweiteren wird das Vielfache eines Elements f aus B(M) die Funktion λf zugeordnet. λf wird definiert durch
(λf)(x):=λf(x). Wiederum sollte man zeigen, dass diese Definition wohldefiniert ist.

Fall alles okay ist, sollte es kein Problem sein alle Vektorraumaxiome nachzuprüfen.

Answer 1

schaue hier nach, was zu zeigen ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

Das gilt alles, denn Funktionen werden punktweise addiert:

αf(x)+β*g(x)=(αf+βg)(x)

und die Linearkombination beschränkter Funktionen ist wieder eine beschränkte Funktion.