Lösen sie die Aufgabe a) für ein quadratisches Stück Blech mit der Seitenlänge "s".

Question

a) Aus einem quadratischen Stück Blech der Seitenlänge 16 cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgestanzt, so dass aus dem restlichen Blech eine nach oben offene Blechschatel geborgen werden kann. Wie muss x gewählt werden, damit eine Schachtel mit max. Volumen entsteht?

hier habe ich die Lösung x= 2,67 raus.. So jetzt das Problem und zwar die b)

b) Lösen sie die Aufgabe a) für ein quadratisches Stück Blech mit der Seitenlänge "s".

Answer 1

V = x·(s - 2·x)^2 = 4·x^3 - 4·s·x^2 + s^2·x

V' = 12·x^2 - 8·s·x + s^2 = 0

x = s/6 (oder x = s/2)

Answer 2

Skizze:

Ziel ist ein möglichst hohes Volumen:
HB: V= (16-2x)² * x --> (256 - 64x + 4x² )*x = 4x³ - 64x² + 256x

V'(x) = 12 x² - 128x + 265 = 0 | :12

x² -   32/3x     + 64/3

pq-Formel :

x_1/2 = 32/6 ±√(32/6)² - 64/3   = 2,6   v   8

V''(x) = 24x -128  24*2,6 -128 = -65,5    --> HP    

(NB: A= 16*16 -4x² ) Nebenbedingung unnötig

Die Seitenlänge s steht jetzt repräsentativ für 16 cm Länge, oder 10 cm oder 1000cm.

Wir müssen also eine Allgemeine Lösung finden:
V= (s-2x)² * x --> (s² -4xs + 4x²)*x = 4x³ -4x²s +s²x

V'(x) = 12x² -8xs +s² = 0 Durch das Einsetzen von 16 in s, kämen wir wieder auf die obige Lösung. Das ist also unsere allgemeine Lösung

Mit der pq- Formel kommt man auf x1 s/2 und x2 s/6 als relatives Maximum

V(s/6)= 2/27s³

V''(x)= 24x -8s 

Bei Fragen gerne melden!
Gruß Luis