Für welche Seitenlänge s wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal?

Question

Aufgabe:

Ein gleichschenkliges Dreieck hat den gegebenen Umfang U. Für welche Seitenlänge s wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal?

Problem/Ansatz:

U = 2s + x
h²= s² - (x/2)²
A = x ⋅ h ⋅ 1/2
A = h ⋅ x/2

Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich weiter machen kann. Ich habe immer zu viele Unbekannte. Ich hoffe jemand kann mir helfen :D

LG

Answer 1

Hallo,

Ich habe immer zu viele Unbekannte.

eigentlich nicht; Du hast doch völlig richtig angefangen:$$A = \frac 12hx \\ h^2 + \left( \frac x2\right)^2 = s^2 \implies h = \sqrt{s^2 - \left( \frac x2\right)^2 }\\ U = 2s+x $$Die Fläche \(A\) gilt es zu maximieren. Setze doch zunächst dort das \(h\) ein und anschließend für \(x\) den Ausdruck \(x=U-2s\):$$A = \frac 12\sqrt{s^2  - \left( \frac x2\right)^2}\,x \\ A = \frac 12\sqrt{s^2  - \left( \frac {U-2s}2\right)^2}\,(U-2s) \\ \phantom{A}= \left(\frac{U}{2} - s\right)\sqrt{Us - \left( \frac U2\right)^2}$$So ist die Fläche \(A\) nur vom Schenkel \(s\) abhängig. Das ganze noch Ableiten und Ableitung Nullsetzen.$$A' = - \sqrt{Us - \left( \frac U2\right)^2} \, + \left(\frac{U}{2} - s\right)\frac{U}{2\sqrt{Us - \left( \frac U2\right)^2}} \to 0 \\ \begin{aligned} \implies 2Us - 2\left( \frac U2\right)^2 &= \frac{U^2}2 - Us \\ 6Us - U^2 &= U^2 \\ s &= \frac 13 U \end{aligned}$$Und das Ergebnis ist das, was zu erwarten war. Bei festem Umfang hat ein gleichseitiges Dreieck die größte Fläche.

Comments

Das ging ja schnell. Vielen dank fürs Vorrechnen. Eine Frage stell ich mir trotzdem noch. Das Dreieck aus der Aufgabe ist gleichschenklig. Mir ist bewusst, dass ein gleichschenkliges Dreieck auch gleichseitig seien kann. Wieso stand dann in der Aufgabe aber nicht direkt gleichseitig?

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Wieso stand dann in der Aufgabe aber nicht direkt gleichseitig?

Na ja - dann hätte man die Lösung vorweg genommen. Ein gleichseitiges Dreieck mit dem Umfang \(U\) hat die Seitenlänge \(s=U/3\) - fertig! Da gibt es nichts mehr zu optimieren.

Die Alternative wäre doch eher gewesen mit einem beliebigen Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\) und \(c\) zu beginnen. Und dann zu fragen, wie müssen diese unter der Nebenbedingung \(a+b+c=U\) gewählt werden, damit der Flächeninhalt \(A\) maximal wird. Tipp: Satz des Heron.

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Könntest du mir bitte bei meiner Frage helfen?

Zu a) Soll die Lösung für ein Kreis in der Mitte (mit Radius von 1) des Koordinatensystems stehen ohne Verschiebung?

Zu b) mein Ansatz zu  Im(z + 1) ≤ Re(z - 1)

z = x + iy

=> Im(x + iy) ≤ Re(x + iy -1)

=> y ≤  x - 1

Ich weiß, dass man da die gerade x-1 zeichnen muss, aber wie zeichne ich y und wie grenze ich das ein

Wie zeichnet man das in das gaußsche Zahlenebene ein?

Zu c) (z+1)/(z-1) < 0

Ansatz: z = x+iy

(x+iy + 1)/(x+iy -1) < 0

(x+iy +1)(x+iy +1)/(x+iy -1)(x+iy -1) < 0

(x² + ixy +x + ixy + i²y² + iy + x + iy +1)/(x² + ixy - x +ixy +i²y² -iy -x -iy +1) <0

(x² + 2x +2 +i²y² + 2ixy + 2iy)/(x2 -2x +1  +i2y2 + 2ixy - 2iy)

((x+1)² + i²y² + 2ixy +2 iy)/((x-1)² + i²y² + 2ixy -2iy)          | i² = -1

((x+1)2 - y² + 2ixy +2 iy)/((x-1)2 - y² + 2ixy -2iy)

Weiß nicht, wie ich die Aufgabe rechnen und dann zeichnen soll(schwerste Aufgabe)

Wäre nett, wenn du mir helfen könntest.

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Ist meine neuste Frage.