Extremwertprobleme bei e-Funktionen f(x) = 4*e^{-x} lösen: Wie groß muss a sein damit A maximal ist? Nr.6

Question

Das Schaubild zeigt den Graphen der Funktion \( f(x)=4 \cdot e^{-x} \) Die Punkte \( A(a | 0) ; P(a | f(a)) \) und der Ursprung bilden ein Dreieck, wobei a positiv ist.

a) Wie groß muss a gewählt werden, damit der Flächeninhalt das Dreiecks möglichst groß wird?

Meine Lösung:  \( \quad a=1 \)

Wie groß ist dieser größtmögliche Flächeninhalt?

Meine Lösung:  \( A=0,74 \) FE

Schaubild:

Ich habe gerade die obrige Aufgabe gerechnet und möchte wissen, ob mein Ergebnis stimmt.

Danke für eure Antworten!

LG :)

Answer 1

Zu jedem Ergebnis gehört in deinen Unterlagen eine Rechnung. Wenn die nicht vollständig und nachvollziehbar ist, haben deine Resultate keinen Wert.

Hier ein Anfang:

Extremwertprobleme bei e-Funktionen f(x) = 4*e^{-x} lösen: Wie groß muss a sein damit A maximal ist? Nr.6

A(a) = 1/2 * a * f(a)          Das ist die Zielfunktion. Leite sie ab und setze die Ableitung 0.

= 1/2 * a * 4 e^{-a}

= 2a e^{-a}

A ' (a) = 2* e^{-a} + 2a*e^{-a} * (-1) = (2 - 2a)* e^{-a} 

(2 - 2a)* e^{-a} = 0

==> a = 1.

A(1) = 2*e^{-1} ≈ 0.73576

Nun kannst du vergleichen und im Zweifelsfall deine vollständige Rechnung als Kommentar noch ergänzen.

Answer 2

f(x) = 4·e^{-x}

A = 1/2 * a * f(a) = 2·a·e^{-a}

A' = 2·e^{-a}·(1 - a) = 0 --> a = 1

A = 2·1·e^{-1} = 0.7358

Deine Rechnung ist also vollkommen richtig.

Answer 3

Die zu maximierende Fläche berechnet sich als 1/2·a·f(a)=2a·e^-a. Nullstelle der Ableitung bestimmen:

f ' (a)=2e^-a(1-a). 2e^-a(1-a)=0 nur für 1-a=0 also für a=1. Dann ist f(1)=2/e≈0,73576.