Die Ableitungen der Umkehrfunktion

Question

Für die Umkehrfunktion g von \(f(x) = x^5+x\) berechne man \(g'(0)..... g^{(4)}(0)\).

Ich habe erstmal einfach \(\frac{1}{f'} = \frac{1}{5x^4+1}\) berechnet und dann die Umkehrfunktion von x^5+x also y = x^5+x | -x <=> y-x  = x^5 |5. Wurzel <=> \(\sqrt[5]{y-x}) = x\), dann x und y vertauschen \(\sqrt[5]{x-x}) = y\). Alles einsetzen ergibt: $$ \frac{1}{f'(g(x))}  =  \frac {1}{5(\sqrt[5]{x-x})^4 + 1}. $$ Muss man so vorgehen oder  \(\frac{1}{f'} = \frac{1}{5x^4+1}\) reicht ?

Answer 1

Die Funktion ist insgesamt gar nicht umkehrbar.

Da musst du dich schon entscheiden auf welchem Bereich du

umkehren willst. Denn es gibt drei Stellen

-1  ;  0 ,  und 1  , an denen der Funktionswert 0 erreicht wird.


Und dann kannst du mit f ^-1 ' (y) =  1 / f ' (x)  arbeiten.

Comments

ƒ(-1) = -2, ƒ(1) = 2.

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Wie er schon geschrieben hat die Funktion wird = 0 nur wenn x = 0, also ihr habt mich eigentlich total verwirrt, wie soll ich jetzt vorgehen ?

Answer 2

Es gilt \(f(g(x))\equiv x\), weil das Umkehrfunktionen nun mal so an sich haben. Konkret also $$(*)\qquad g(x)^5+g(x)=x.$$ Ausserdem ist \(g(0)=0\), weil \(f(0)=0\) ist. Leite (*) einmal ab, und Du kannst \(g'(0)\) angeben. Leite noch mal ab, und Du kannst \(g''(0)\) angeben, usw. Dabei immer schoen an die Kettenregel denken.

Answer 3

Irgendwie hast du anstelle einer Umkehrfunktion
die Kehrwertfunktion oder so etwas gebildet.

Schau dir bitte

https://www.mathelounge.de/424078/ableitung-der-umkehrfunktionen

einmal an. Vielleicht hilft dir das weiter.

Ansonsten bin ich gern weiter behilflich.

mfg Georg