Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktion f^{-1}: ℝ → ℝ existiert mit f^{-1}(ℝ)=ℝ .

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Wie kann man diese Aufgaben? Danke im Voraus Text erkannt:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=x+e^{x} \)
1. Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktion \( f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) existiert mit \( f^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{R} \).
2. Berechnen Sie \( \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1) \).
3. Berechnen Sie \( \lim \limits_{y \rightarrow-\infty}\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y) \).
Tipp: Berechnen Sie zunächst \( \lim \limits_{y \rightarrow-\infty} f^{-1}(y) \).

Answer 1

Grenzwerte für gegen ±∞ sind doch auch ±∞

und strenge Monotonie zeigt 1.

Comments

Wie kann ich denn 1. lösen ?

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f'(x) = 1+e^x ist immer positiv

==>  f besitzt eine Umkehrfunktion.

Und es ist D_f=ℝ  und ( siehe Grenzwerte) W_f=ℝ,

also auch \( f^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{R} \)