Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktion f-1: ℝ → ℝ existiert mit f-1(ℝ)=ℝ .

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Wie kann man diese Aufgaben? Danke im Voraus Text erkannt:

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=x+e^{x}$
1. Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktion $f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ existiert mit $f^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$.
2. Berechnen Sie $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)$.
3. Berechnen Sie $\lim \limits_{y \rightarrow-\infty}\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)$.
Tipp: Berechnen Sie zunächst $\lim \limits_{y \rightarrow-\infty} f^{-1}(y)$.

Answer 1

Grenzwerte für gegen ±∞ sind doch auch ±∞

und strenge Monotonie zeigt 1.

Comments

Wie kann ich denn 1. lösen ?

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f'(x) = 1+e^x ist immer positiv

==>  f besitzt eine Umkehrfunktion.

Und es ist D_f=ℝ  und ( siehe Grenzwerte) W_f=ℝ,

also auch $f^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$