Zeigen Sie: (\cosh (x))^{2}-(\sinh (x))^{2}=1 für alle x ∈ ℝ .

Question

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Die reellen Hyperbelfunktionen sind wie folgt definiert:
\( \sinh (x):=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right), \quad \cosh (x):=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right), \quad x \in \mathbb{R} \)
1. Zeigen Sie: \( (\cosh (x))^{2}-(\sinh (x))^{2}=1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
2. Bestimmen Sie die Ableitung beider Funktionen.
3. Bestimmen Sie das \( \operatorname{Bild} \sinh (\mathbb{R}) \).
4. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von sinh und schließen Sie auf die Existenz der Umkehrfunktion Arsinh \( :=\sinh ^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \).
5. Bestimmen Sie die Ableitung von Arsinh \( x \).
Tipp: Benutze Teil 1 der Aufgabe.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Wie sind die Fragen zu lösen? Danke im Voraus

Answer 1

1.

COSH(x)^2 - SINH(x)^2 = 1

Setze ein, was du kennst und vereinfache.

(1/2·(e^x + e^(-x)))^2 - (1/2·(e^x - e^(-x)))^2 = 1
1/4·(e^(2·x) + 2·e^x·e^(-x) + e^(- 2·x)) - 1/4·(e^(2·x) - 2·e^x·e^(-x) + e^(- 2·x)) = 1
1/4·(e^(2·x) + 2 + e^(- 2·x)) - 1/4·(e^(2·x) - 2 + e^(- 2·x)) = 1
1/4·e^(2·x) + 1/2 + 1/4·e^(- 2·x)) - 1/4·e^(2·x) + 1/2 - 1/4·e^(- 2·x) = 1
1/2 + 1/2 = 1
1 = 1