Mittels h-Methode zeigen, dass Ableitung von cosh(x) sinh(x) ist.

Question

Man soll zeigen, dass

\(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cosh(x+h) - \cosh(x)}{h} = \sinh(x) \) ist.

Weiß jemand, wie das geht?

Answer 1

Versuche doch mal, cosh(x) über die Definition  dieser Funktion als Summe von zwei e-Funktionen aufzuschreiben.

Comments

Danke erst einmal. Also ich komme bis

\( ... = \frac{1}{2} lim_{h \to 0}  \frac{e^x(e^h-1)+ e^{-x}(e^{-h}-1)}{h} \)

Kannst du mir sagen, wie es weitergeht?

---

Denke mal über den limes von \( \frac{e^h-1}{h} \) für h gegen 0 nach.

Die Kenntnis der Potenzreihe von e^x hilft dabei

PS: (oder l'Hospital wie in der Antwort von mathef)

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus#Definitionen

Answer 3

(cosh(x+h) - cosh(x)) / h      #

=(1/2) * (e^(x+h) + e^(-x-h)  - ( e^x + e^(-x) )   )      / h

=(1/2) * (e^(x) * e^h -  e^x )   + e^(-x-h)  - e^(-x)    )      / h

=(1/2) * (e^(x) * ( e^h -  1)   + e^(-x)  *( e^(-h)  - 1 )   )      / h

=(1/2) * (e^(x) * ( e^h -  1)/h     + e^(-x)  * (e^(-h)  - 1)/h    )

Und sowohl   ( e^h -  1)/h    als auch  (e^(-h)  - 1)/h  sind

Grenzwerte von der Form 0/0 und lassen sich mit

der Regel von De Hospital bestimmen; denn

e^h / 1            und  -e^(-h)/1  haben für h gegen 0 die

Grenzwerte 1 bzw. -1 also ist der Grenzwert von #

für h gegen 0 dann

(1/2) * (e^(x) * 1     + e^(-x)  * (-1)   )   = (1/2) * (e^(x)      - e^(-x)  ) = sinh(x).

Comments

Ahh, vielen Dank!!! :*