Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt x ∈ ℝ differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sei wie folgt definiert:
\( f(x):=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x=0 \\ x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( x \in \mathbb{R} \) differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung. Ist die Ableitung stetig?

Problem/Ansatz: wie kann man diese Aufgabe lösen? Danke im Voraus

Comments

Ich habe die Aufgabe korrigiert.

Answer 1

\(f\) ist für \(x\neq 0\) differenzierbar aufgrund von Produkt-, Ketten- und Potenzregel.

Für Differenzierbarkeit bei 0, zeige dass

        \(\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h\searrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h}\)

ist.

Comments

Und wie kann ich denn weiterschreiben?

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Brauchst du nicht. Wenn du gezeigt hast, dass

        \(\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h\searrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h}\)

ist, dann bist du fertig.