ich weiß nicht, ob das so gemeint ist und ob es einfachere geht.
$$\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^x-e^{-x})\\\cosh(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^x+e^{-x})\\\tanh(x)=\frac{ (e^x-e^{-x})}{ (e^x+e^{-x})}=y\\z=e^x\\y=\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}\\y\cdot ( z+z^{-1})=z-z^{-1}\\yz+yz^{-1}=z-z^{-1}\\-z+yz=-z^{-1}-yz^{-1}\\-z\cdot (1-y)=-z^{-1}\cdot (1+y)\\\frac{-z}{-z^{-1}}=\frac{1+y}{1-y}\\z^2=\frac{1+y}{1-y}\\(e^x)^2=\frac{1+y}{1-y}\\e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}\\2x=\ln(\frac{1+y}{1-y})\\x=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+y}{1-y}\\\text{x und y vertauschen, damit es dann auch die Umkehrfunktion ist}\\Artanh(x)=\frac{1}{2}\cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$
Jetzt die Ableitung mittels Kettenregel, Quotientenregel und \(\frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}\)
Nebenrechnung:
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{1-y}\right)=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1-x)^2}$$
$$ Artanh'(x)=\frac{1}{\cancel{2}}\cdot \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}}\cdot \frac{\cancel{2}}{(1-x)^2}\\=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1+x)\cdot (1-x)}=\frac{1}{1-x+x-x^2}=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{1}{1-x^2}}}}$$
Hier der Graph.
~plot~ 1/(1-x^2) ~plot~
Da sieht man, dass die Funktion auf dem Intervall I = (-1;1) stetig und auch differenzierbar. Wie man das rechnerisch zeigt, weiß ich nicht ganz.
Ich hoffe, das hilft weiter.
