Zeigen Sie, dass die Funktion artanh die Umkehrfunktion von tanh ist

Question

Wir sollen zeigen, dass die Funktion artanh die Umkehrfunktion von tanh ist, aber unser Problem ist, dass wenn wir versuchen diese zu bilden (Ansatz ist die unterste Gleichung) diese im Nenner =0 wird.

Für die Funktionen gilt R → (-1|1)

\( \operatorname{artanh}(x)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \)
\( \tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)} \)
\( =\frac{0.5\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{0.5\left(e^{x}+e^{-x}\right)}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Hyperbelfunktion: cosh z:= (e^z+e^{-z})/2, sinh z := (e^z -e^{-z})/2. tanh und artanh?

Stichworte: tanh,artanh,kreis,hyperbel,kreisfunktion,hyperbelfunktion,komplexe-zahlen

Gegenen ist:

cos z :=( e^iz+e^-iz)/2   ,    Sin z := (e^iz-e^-iz)/2i

cosh z := (e^z+e^-z)/2   ,    Sinh z :=( e^z -e^-z)/2

 

( das ganze ist definiert für komplexe zahlen z∈ℂ.

 

die frage lautet:

leiten sie eine analoge formel für die umkehrfunktion Artanh (y) von tanh x := sinh z/cosh x her. Für welche werte von y ∈ℝ ist Artanh (y) definiert?

 

(diese funktionen heissen areakosinus hyperbolicus)

---

Also du weißt folgendes $$\tanh(ar\tanh(x))=x$$ und wenn du auf beiden Seiten ableitest, erhältst du mit der Kettenregel $$\tanh'(ar\tanh(x))\cdot ar\tanh'(x)=1~.$$

tanh' kannst du mit der Definition durch sinh und cosh berechnen. Mit Hilfe der obigen Gleichung kannst du durch Umstellen artanh' bestimmen, dann das Ding einfach integrieren und du hast artanh.

Den Definitionsbereich von tanh bestimmst du mittels der Definition (einfach für sinh/cosh einsetzen, umstellen und gucken was passiert). Definitionsbereich von artanh ist dann natürlich die Wertemenge von tanh, da es die Umkehrfunktion ist.

Sollten weitere Fragen aufkommen, stell sie einfach :)

LG

Answer 1

.................