Hyperbel Areafunktion. artanh x = 1/2 In (1 + x / 1 - x) für |x| <1 zeigen.

Question

1. Zeigen Sie, dass für alle |x| < 1 gilt:

   artanh x = 1/2 In (1 + x / 1 - x)

   Bitte um Hilfe

Comments

hat sich schon erledigt danke für die Hilfe

Answer 1

Du musst also zeigen:

tanh ( 1/2 In (1 + x / 1 - x)) = x

bekannt ist ja:    tanh(z) = ( e^z - e^-z ) /  (  e^z + e^-z)  

und wenn du jetzt für z   =  1/2 In (1 + x / 1 - x) einsetzt:

tanh ( 1/2 In (1 + x / 1 - x)) = (    wurzel(1 + x / 1 - x)  -    1  /  wurzel(1 + x / 1 - x)     )  

                   /      (    wurzel(1 + x / 1 - x)  +    1  /  wurzel(1 + x / 1 - x)     )  

jetzt mit  wurzel(1 + x / 1 - x)    erweitern gibt

=    (   (1 + x / 1 - x)    -  1  )    /      (  (1 + x / 1 - x)     +    1   )

Das mit  1-x erweitern

=    (   1+x    -   1 * (1-x) )      /        (   1+x    +  1 * (1-x) )  

=  2x    /    2       =   x     q.e.d.

und wegen |x|<1 gibt es beim Erweitern und Dividieren auch nie eine 0,

also alles richtig.

Comments

bei dir ist alles als brauch dargestellt, geht ja schlecht wenn ich alles untereinander schreibe

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Bitte um Hilfe

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zu 3.

Dmax:     arccos ist definiert für x aus [-1 ; 1 ]. Damit 1/x aus diesem Bereich ist, muss gelten

-1 ≤ 1/x   und    1/x ≤ 1     und   x ≠ 0

Das heißt x>1 oder x<-1 .

Also Dmax = ] - unendlich; -1 ] ∪ [ 1 ; unendlich [

b)

Für die Ableitung kannst du ausgehen von

arccos ' (x) = -1 / wurzel(1-x^2)   (oder musst du das auch noch beweisen ???)

also   f ' (x ) =    -1 / wurzel(1- 1/x^2)  * Abl. von 1/x wegen Kettenregel

=   -1 / wurzel(1- 1/x^2)     *       -1/x^2      (Produkt zweier Brüche ! )

=     1 / wurzel(    (x^2- 1)  /   x^2)     *       1/x^2

=   wurzel(x^2 )  / wurzel(    (x^2- 1)      *       1/x^2

= | x |   /      (   wurzel(    (x²- 1)     *   x^2 )     und dann mit   |x| kürzen

=   1   /      (   wurzel(    (x²- 1)     *  |x| )

c)

f ' (x) wird also im gesamten Definitionsbereich nicht 0, also keine lok.

Extremstellen im Inneren des Def.ber.

Außerdem ist f ' (x) > 0 für alle x aus D,  also f auf den beiden

Teilen des Definitionsbereichs. streng mon. steigend.

Das heißt  bei x=-1 ist ein lok. Max

und bei x = 1 ist ein lok. Min.

Wegen lim für x gegen  plus oder minus unendlich = pi / 2

und f(-1) = pi und f ( 1 ) = 0

ist bei x=-1 das globale Max pi

und bei +1 das globale min  0 .

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4.
a)
Für x gegen unendlich argumentierst du enzweder über den
Allgemeinplatz:   e^x steigt stärker als jede Potenz von x, also
ist der GW 0.   oder mit mehrmaliger Anwendung von d' Hospital.
Für x gegen 0+ genauso.
b)
f ' (x) = mit Quotientenregel gibt es  ( (e^x - 1 ) * 3x^2 - x^3 * e^x )  ( e^x - 1 ) ^2  =
-x^2 (  (x-3)*e^x + 3 )  /    ( e^x - 1 ) ^2 
und hiervon der GW für x gegen 0 ist vom Typ 0 durch 0
also mit   d' Hospital  der gleiche wie der von
( -2x * (  (x-3)*e^x + 3 )   - x^2 * ( 1*e^x + (x-3)*e^x )    )   /  (  2*(e^x - 1 ) )
= ( -2x^2*e^x + 6x*e^x - 6x - x^2*e^x - x^3 * e^x + 3x^2 * e^x  )  /  ( 2*(e^x - 1 ) )
= ( 6x*e^x  - 6x  -  x^3 * e^x  )  /      ( 2*(e^x - 1 ) )    wieder Typ 0 / 0
also nochmal   d' Hospital.
( 6 * e^x +  6x * e^x  -  6   - 3x^2 * e^x - x^3 * e^x )  /  (  2*e^x )
und das ist nun von der Form 0 / 2 also Grenzwert 0.
c)
f ' (2) = 4*(e^2 - 3) / ( e^2 - 1) ^2      >0
f ' (3) = -27 / (e^3 - 1 ) ^2   < 0
Also wechselt die Ableitung ( da sie stetig aus [2;3] ist) nach dem
Zwischenwertsatz mindestens einmal das Vorzeichen von + nach -
und damit gibt es in diesem Bereich mindestens ein lok. Max.

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Mathef danke für deine Hilfe, aber könntest du auch bitte sagen was Aufgabe a,b und c sind. Danke nochmal

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siehe Korrektur!

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Aso ok sorry danke scjön

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Außerdem ist f ' (x) > 0 für alle x aus D,  also f auf den beiden

Teilen des Definitionsbereichs. streng mon. steigend.

Das heißt  bei x=-1 ist ein lok. Max

und bei x = 1 ist ein lok. Min.

Na ja. In der Rechnung zu b) ist ein Klammerungsfehler und vermutlich soll die Ableitung des arccos nicht einfach als bekannt vorausgesetzt werden.