Kann man dieses Integral auch so lösen? ∫ 1/(x^2 + 3x +2) dx

Question

Angenommen ich hätte das Integral wie folgt gelöst ∫ 1/(x^2 + 3x +2) dx

\( \int\left(\frac{1}{x^{2}+3 x+2}\right) d x=\int\left(\frac{1}{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}}\right) d x=4 * \int\left(\frac{1}{4 *\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-1}\right) d x \)
\( 4 * \int\left(\frac{1}{2^{2} *\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-1}\right) d x 4 * \int\left(\frac{1}{\left(2 *\left(x+\frac{3}{2}\right)\right)^{2}-1}\right) d x=4 * \int\left(\frac{1}{(2 x+3)^{2}-1}\right) d x \)
\( (-4) * \int\left(\frac{1}{1-(2 x+3)^{2}}\right) d x=-4 *\left(\frac{1}{2}\right) * \operatorname{artanh}(2 x+3)+C=(-2) \operatorname{artanh}(2 x+3)+C \)

Ist das richtig oder falsch?

Answer 1

ich sehe keinen Fehler. Wenn man ableitet kommt auch das gleiche raus, also auch das passt.

Grüße

Comments

Der Hintergrund ist, dass die Aufgabe über PBZ gelöst wurde und die Lösung total anders ist mit dem natürlichen Logarithmus

Aber danke fürs drübergucken.

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Joa, das macht nix. Du kannst den artanh auch über Logarithmus ausdrücken:

https://de.wikipedia.org/wiki/Areatangens_Hyperbolicus_und_Areakotangens_Hyperbolicus

Ist aber beides in Ordnung, eine Umrechnung also nicht nötig.

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Die Schritte sind aber alle mathematisch korrekt, oder? Also was ich hinzugefügt habe, habe ich auch gleich vor dem Integral wieder korrigiert. Vorallem die 4 in die Potenz reinzuziehen.

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Yup, sehe da wie gesagt keinen Fehler :). Und die Ableitung führt auch wieder zum Gewünschten. Passt also! :)