Zeige, dass die Ableitung der Umkehrfunktion Artanh : (-1, 1) → ℝ

Question

wäre es möglich, dass ihr mir bei dieser Aufgabe mit der Lösung helfen? ich habe die schön gelöst, aber ich bin mir mit meinen Ergebnissen unsicher. Mit dem Lösungsweg wäre es ja super!

Der Tangenshysperbolicns ist definiert als

$$\tanh ( x ) : = \frac { \sinh ( x ) } { \cosh ( x ) }$$

Zeige, dass die Ableitung der Umkehrfunktion Artanh : (-1, 1) → ℝ und dass diese durch

$$\operatorname { Artanh } ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 1 - x ^ { 2 } } \forall x \in ( - 1,1 )$$

gegeben ist.

 

Answer 1

ich weiß nicht, ob das so gemeint ist und ob es einfachere geht.

$$\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^x-e^{-x})\\\cosh(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^x+e^{-x})\\\tanh(x)=\frac{ (e^x-e^{-x})}{ (e^x+e^{-x})}=y\\z=e^x\\y=\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}\\y\cdot ( z+z^{-1})=z-z^{-1}\\yz+yz^{-1}=z-z^{-1}\\-z+yz=-z^{-1}-yz^{-1}\\-z\cdot (1-y)=-z^{-1}\cdot (1+y)\\\frac{-z}{-z^{-1}}=\frac{1+y}{1-y}\\z^2=\frac{1+y}{1-y}\\(e^x)^2=\frac{1+y}{1-y}\\e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}\\2x=\ln(\frac{1+y}{1-y})\\x=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+y}{1-y}\\\text{x und y vertauschen, damit es dann auch die Umkehrfunktion ist}\\Artanh(x)=\frac{1}{2}\cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$

Jetzt die Ableitung mittels Kettenregel, Quotientenregel und $\frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}$

Nebenrechnung:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{1-y}\right)=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1-x)^2}$$

$$Artanh'(x)=\frac{1}{\cancel{2}}\cdot \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}}\cdot \frac{\cancel{2}}{(1-x)^2}\\=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1+x)\cdot (1-x)}=\frac{1}{1-x+x-x^2}=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{1}{1-x^2}}}}$$

Hier der Graph.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/(1-x²)

Da sieht man, dass die Funktion auf dem Intervall I = (-1;1) stetig und auch differenzierbar. Wie man das rechnerisch zeigt, weiß ich nicht ganz.

Ich hoffe, das hilft weiter.

Answer 2

berechne erstmal die Ableitung des tanh ( die braucht man später):

cosh(x)*tanh(x)=sinh(x) |  ableiten

sinh(x)*tanh(x)+cosh(x)tanh(x)'=cosh(x)| :cosh(x)

tanh(x)²+tanh(x)'=1

tanh(x)'=1-tanh(x)²

Verwende nun die Umkehrregel:

arctanh'(x)=1/tanh'(arctanh(x))=1/(1-tanh(arctanh(x))²)=1/(1-x²)

Comments

Besser vielleicht artanh.