Wie bildet man die Umkehrfunktion dieser Funktionen?

Question

Aufgabe:

Wie bildet man die Umkehrfunktion dieser Funktionen?

Habe auch mein bisherigen Rechenweg abfotografiert komme aber einfach nicht weiter

Text erkannt:

(b) \( \begin{aligned} y & =x^{2}+2 x, x \geq-1, \\ y & =x(x+2)\end{aligned} \)

Text erkannt:

(d) \( \begin{aligned} y=\frac{x^{2}+7}{x-3}, & x \geq 7 \\ y(x-3) & =x^{2}+7 \\ y x-3 y & =x^{2}+7 \quad \mid-y x \\ -3 y & =x^{2}+7-g x \mid-7 \\ -3 y-7 & =x^{2}-9 x \\ -3 y-7 & =x(x-9) \mid\end{aligned} \)

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+4}}+3 \)

Answer 1

Du führst nur irgendwelche Umformungen durch, die gar nicht zum Ziel führen. Die Umkehrfunktion bestimmt man, indem man in der Gleichung die Variablen \(x\) und \(y\) vertauscht und erst dann nach \(y\) umformt. Dabei ist natürlich auf den Definitionsbereich zu achten, damit man auch gültige Umformungen macht.

Zum Beispiel gilt für \(y=x^2\) mit \(x\geq 0\):

1. Variablen tauschen liefert \(x=y^2\)

2. Umstellen nach \(y\) liefert (Wurzelziehen): \(y=\sqrt{x}\)

Versuche das mal, auf deine Beispiele anzuwenden.

Hinweis: Der Fall \(y=-\sqrt{x}\) ist natürlich nicht relevant, weil der Wertebereich \(\mathbb{R}^{\geq 0}\) ist, aufgrund des Definitionsbereichs \(x\geq 0\) der ursprünglichen Funktion. Also gilt hier \(y\geq 0\).

Comments

Mir ist bewusst, dass man die Variablen x und x vertauschen soll. Wir haben es so gelernt dass wir die Gleichung nach x umstellen und dann die Variablen tauschen.

Mir fällt es aber schwer die Gleichung umzuformen zu x=…

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Okay, mir war nicht ersichtlich, dass du da versuchst, nach \(x\) umzustellen.

Bei b) kannst du die quadratische Ergänzung anwenden. Dann hast du später eine Gleichung der Form \((x+ ...)^2=y\). Da kommt man dann mit Wurzelziehen weiter. Sollte bei d) dann auch gehen. Bei der letzten kann man erstmal den Nenner rational machen, also die Wurzel auflösen und dann weitersehen.

Answer 2

Es ist völlig ok, wie Du es gelernt hast, also die Gleichung y=f(x) nach x umzuformen. Dabei musst Du auf die Variable x achten, um die geht es und y wie eine Zahl behandeln.

Dann solltest Du erkennen, dass in den ersten beiden Funktionen eine quadratische Gleichung in x da steht. Diese kannst Du mit der pq-Formel lösen. Das gibt zwei Lösungen und Du musst eine davon so auswählen, dass das x im angegebenen Definitionsbereich liegt.

Das ist bei (b) am einfachsten.

Zum letzten Beispiel: Die Wurzeln kannst Du nicht auflösen, versuch es erst gar nicht. Ziehe die Wurzel über den ganzen Bruch und stelle erstmal nach dem Bruch um. Da kommst Du auch ohne quadratische Gleichung durch.

Answer 3

b)

\(y=x^2+2x\)   mit   \(x≥-1\)

\(y+1=x^2+2x+1 \)

\((x+1)^2=y+1   |\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+1=\sqrt{y+1 }\)

\(x=\sqrt{y+1 }-1\)

x,y Tausch:

\(y=\sqrt{x+1 }-1\)

2.)

\(x+1=-\sqrt{y+1 }\)

\(x=-\sqrt{y+1 }-1\)

x,y Tausch:

\(y=-\sqrt{x+1 }-1\) kommt nicht in Betracht.