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Aufgabe:

Wie bildet man die Umkehrfunktion dieser Funktionen?


Habe auch mein bisherigen Rechenweg abfotografiert komme aber einfach nicht weiterIMG_9208.jpeg

Text erkannt:

(b) y=x2+2x,x1,y=x(x+2) \begin{aligned} y & =x^{2}+2 x, x \geq-1, \\ y & =x(x+2)\end{aligned}

IMG_9209.jpeg

Text erkannt:

(d) y=x2+7x3,x7y(x3)=x2+7yx3y=x2+7yx3y=x2+7gx73y7=x29x3y7=x(x9) \begin{aligned} y=\frac{x^{2}+7}{x-3}, & x \geq 7 \\ y(x-3) & =x^{2}+7 \\ y x-3 y & =x^{2}+7 \quad \mid-y x \\ -3 y & =x^{2}+7-g x \mid-7 \\ -3 y-7 & =x^{2}-9 x \\ -3 y-7 & =x(x-9) \mid\end{aligned}

IMG_9210.jpeg

Text erkannt:

f(x)=x+2x+4+3 f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+4}}+3

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Du führst nur irgendwelche Umformungen durch, die gar nicht zum Ziel führen. Die Umkehrfunktion bestimmt man, indem man in der Gleichung die Variablen xx und yy vertauscht und erst dann nach yy umformt. Dabei ist natürlich auf den Definitionsbereich zu achten, damit man auch gültige Umformungen macht.

Zum Beispiel gilt für y=x2y=x^2 mit x0x\geq 0:

1. Variablen tauschen liefert x=y2x=y^2

2. Umstellen nach yy liefert (Wurzelziehen): y=xy=\sqrt{x}

Versuche das mal, auf deine Beispiele anzuwenden.

Hinweis: Der Fall y=xy=-\sqrt{x} ist natürlich nicht relevant, weil der Wertebereich R0\mathbb{R}^{\geq 0} ist, aufgrund des Definitionsbereichs x0x\geq 0 der ursprünglichen Funktion. Also gilt hier y0y\geq 0.

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Mir ist bewusst, dass man die Variablen x und x vertauschen soll. Wir haben es so gelernt dass wir die Gleichung nach x umstellen und dann die Variablen tauschen.

Mir fällt es aber schwer die Gleichung umzuformen zu x=…

Okay, mir war nicht ersichtlich, dass du da versuchst, nach xx umzustellen.

Bei b) kannst du die quadratische Ergänzung anwenden. Dann hast du später eine Gleichung der Form (x+...)2=y(x+ ...)^2=y. Da kommt man dann mit Wurzelziehen weiter. Sollte bei d) dann auch gehen. Bei der letzten kann man erstmal den Nenner rational machen, also die Wurzel auflösen und dann weitersehen.

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Es ist völlig ok, wie Du es gelernt hast, also die Gleichung y=f(x) nach x umzuformen. Dabei musst Du auf die Variable x achten, um die geht es und y wie eine Zahl behandeln.

Dann solltest Du erkennen, dass in den ersten beiden Funktionen eine quadratische Gleichung in x da steht. Diese kannst Du mit der pq-Formel lösen. Das gibt zwei Lösungen und Du musst eine davon so auswählen, dass das x im angegebenen Definitionsbereich liegt.

Das ist bei (b) am einfachsten.

Zum letzten Beispiel: Die Wurzeln kannst Du nicht auflösen, versuch es erst gar nicht. Ziehe die Wurzel über den ganzen Bruch und stelle erstmal nach dem Bruch um. Da kommst Du auch ohne quadratische Gleichung durch.

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b)

y=x2+2xy=x^2+2x   mit   x1x≥-1

y+1=x2+2x+1y+1=x^2+2x+1

(x+1)2=y+1  (x+1)^2=y+1 |\sqrt{~~}

1.)

x+1=y+1x+1=\sqrt{y+1 }

x=y+11x=\sqrt{y+1 }-1

x,y Tausch:

y=x+11y=\sqrt{x+1 }-1

2.)

x+1=y+1x+1=-\sqrt{y+1 }

x=y+11x=-\sqrt{y+1 }-1

x,y Tausch:

y=x+11y=-\sqrt{x+1 }-1 kommt nicht in Betracht.

Unbenannt.JPG

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