Wie bildet man hier die Umkehrfunktion?

Question

Aufgabe:

Umkehrfunktion bilden:

− \( \sqrt{−x} \)

Problem/Ansatz:

Wie bildet man hier die Umkehrfunktion?

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion ist wegen der Wurzel-Funktion nur für \(x\le0\) definiert:$$y(x)=-\sqrt{-x}\quad;\quad x\le0$$Insbesondere ist auch \(y(x)\le0\). Zur Bildung der Umkehrfunktion vertauschen wir \(x\) und \(y\) und stellen die entstehende Gleichung nach \(y\) um:$$x=-\sqrt{-y}\implies\sqrt{-y}=-x\implies -y=(-x)^2=x^2\implies y=-x^2$$Erinnere dich daran, dass beide Werte \(x\) und \(y\) kleiner gleich \(0\) sind, sodass die Umkehrfunktion schließlich lautet:$$y(x)=-x^2\quad;\quad x\le0$$

Geometrisch erhältst du die Umkehrfunktion durch Spiegelung des Graphen an der Geraden \(y=x\):

~plot~ -sqrt(-x) ; -x^2*(x<=0) ; x ; [[-3|1|-3|1]] ~plot~

Answer 2

y= -√-x

nach x auflösen:

-y= √-x

y^2 = -x

x= -y^2

Vertauschen:

f^(-1)(x)= y= -x^2