Arcustangens vom Tangens

Question

Aufgabe:

Ohne Taschenrechner lösen:

arctan(tan(\( \frac{2}{3} \)π))

Problem/Ansatz:

Es kommt − \( \frac{π}{3} \) heraus, aber wie kriegt man es ohne externe Mittel hin?

Answer 1

Aloha :)

Die \(\arctan\)-Funktion liefert Winkel aus dem Intervall \(\left(-\frac\pi2\bigg|+\frac\pi2\right)\) zurück. Da die \(\tan\)-Funktion \(\pi\)-periodisch ist, reicht dieser Rückgabebereich. Du kannst zu dem Ergebnis beliebige Vielfache von \(\pi\) addieren oder subtrahieren, denn:$$\tan(x+\mathbb Z\cdot\pi)=\tan(x)$$

In deinem konkreten Fall müsste \(\arctan\left(\tan\left(\frac23\pi\right)\right)\) tatsächlich gleich \(\frac23\pi\) sein. Allerdings liegt dieser Wert nicht im Rückgabe-Intervall der \(\arctan\)-Funktion. Diese gibt \(\frac23\pi-\pi=-\frac\pi3\), weil \(-\frac\pi3\) im Rückgabe-Intervall der \(\arctan\)-Funktion liegt.

Du kannst dir das auch wie folgt klar machen:$$\arctan\left(\tan\left(\frac23\pi\right)\right)=\arctan\left(\tan\left(\frac23\pi-\pi\right)\right)=\arctan\left(\tan\left(-\frac\pi3\right)\right)=-\frac\pi3$$