Wie wurde hier die Ableitung der Umkehrfunktion berechnet?

Question

 Hi, ich habe eine (wahrscheinlich sehr dumme) Frage zur Berechnung dieser Ableitung

\( \log _{10}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad \) definiert als die Umkehrfunktion von
$$ \exp _{10}: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty), x \mapsto \exp _{10}(x):=10^{x} $$

Hier wurde so vorgegangen und ich weiß nicht wieso:
\( \log _{10}^{\prime}(x)=\frac{1}{\exp _{10}^{'}\left(\log _{10}(x)\right)} \)

Ich verstehe nicht so recht, wieso hier noch einmal die "normale" nicht umgekehrte Funktion, in die Umkehrfunktion eingesetzt wurde.....

Wisst ihr warum?
LG

Answer 1

Aloha :)

Der Trick ist, dass sich Funktion und Umkehrfunktion gegenseitig neutralisieren:$$x\equiv10^{\log_{10}(x)}$$Beide Seiten sind identisch, d.h. für alle \(x\)-Werte aus dem Definitionsbereich gleich. Daher können wir wie folgt ableiten:

$$1=(x)'=\left(10^{\log_{10}(x)}\right)'=\left(e^{\log_{10}(x)\ln(10)}\right)'=\underbrace{e^{\log_{10}(x)\ln(10)}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\log'_{10}(x)\cdot\ln(10)}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{1}=10^{\log_{10}(x)}\ln(10)\cdot\log'_{10}=x\ln(10)\cdot\log'_{10}(x)$$$$\leadsto\quad\log'_{10}(x)=\frac{1}{x\,\ln(10)}$$Dein Prof. hat den Nenner offenbar nicht ganz zu Ende gerechnet ;)

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Vielen Dank:)