Funktionsuntersuchung einer e-Funktionen-Schar: f t(x)=10*(e^{-tx}-e^{-2tx}) ; t∈ℝ \ (0)

Question

f_t(x)=10*(e^-tx-e^-2tx) ; t∈ℝ \ (0)

1.) Symmetrieverhalten untersuchen

2.) Nullstellen und Extrempunkte untersuchen

Lösungsvorschlag: 
1.) f_t(-x)= 10*(e^tx-e^-2tx) ≠f_t(x) bzw. -f_t(x); daher liegt keine besondere Symmetrie vor.

2,) Nullstellen: setzt man eine e-Funktion 0 gleich so geht dies nicht auf, und keine lösung kann errechnet werden.

Extrempunkte: 
Ableitung

F_t'(x)= -10te^-tx+20te^-2tx

F_t''(x)= 10t²e^-tx-40t²e^-2tx

auch hier das selbe problem. keine lösung kann errechnet werden

Könntet ihr mir bitte helfen ? ich glaube das es falsch ist.

Answer 1

Lösungsvorschlag: 
1.) f_t(-x)= 10*(e^tx-e^2tx) ≠f_t(x) bzw. -f_t(x); daher liegt keine besondere Symmetrie vor.

2,) Nullstellen: setzt man eine e-Funktion 0 gleich so geht dies nicht auf, und keine lösung kann errechnet werden.

aber    (e^tx-e^2tx) = 0

e^tx   =   e^2tx

          ^{tx  =  2tx}  

  tx - 2tx = 0

-tx = 0

x=0   ( da t ungleich 0)

Also eine Nullstelle bei x=0

Extrempunkte:        10*(e^-tx-e^-2tx)
Ableitung

F_t'(x)= -10te^-tx+20te^-2tx

F_t''(x)= 10t²e^-tx-40t²e^-2tx

auch hier das selbe problem. keine lösung kann errechnet werden     s.o.

F_t'(x)=0       bedeutet       -10te^-tx+20te^-2tx   

10t * (  - e^-tx+2e^-2tx  ) = 0

2e^-2tx        =    e^-tx    | : e^-tx    

2e^-tx        =   1
                                                                   e^-tx        =   1/2
                                                                 -tx = ln(1/2)
                                                                        x =   ln(1/2)  /  -t

Könntet ihr mir bitte helfen ? ich glaube das es falsch ist.

Comments

Was ist die Stammfunktion der Gleichung?

Ich muss die durchschnittliche Konzentraion in den ersten 30 Stunden errechnen.

Ich wollte jetzt :

1/30 * das Integral zwischen den grenzen 0  und 30

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Stammfunktion ist -10/t *e ^{- t*x} + 5 / t * e ^{- 2 t*x}

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Ich wollte jetzt :

1/30 * das Integral zwischen den grenzen 0  und 30 

Richtig.

Answer 2

Nullstellen: setzt man eine e-Funktion 0 gleich so geht dies nicht
auf, und keine lösung kann errechnet werden.

Stimmt nicht.

F_t(x)=10*(e^-tx-e^-2tx)
F ( x ) = 10 * ( e^{-t*0} - e^{-2t*0} )
F ( x ) = 10 * ( e^{0} - e^{0} )
F ( x ) = 10 * 0 = 0
( 0  | 0 )

Bezüglich des Extremwerts siehe Mathef
x =   ln(1/2)  /  -t
x = ( ln (1 ) - ln ( 2 ) )  / -t
x = ln ( 2 ) / t

F_t''(x)= 10t²e^-tx-40t²e^-2tx

F_t'' ( ln(2) / t) = 10t² * e^{-t * ln(2) / t} - 40t^{2 *} e^{-2t * ln(2) / t}
F_t'' ( ln(2) / t) = 10t^2 * e^{- ln(2)}  - 40t^2 * e^{--2 * ln(2)}
ist  stets negativ
Der Extremprunkt ist eine Hochpunkt.

mfg Georg

Comments

Was ist die Stammfunktion der Gleichung?

Ich muss die durchschnittliche Konzentraion in den ersten 30 Stunden errechnen.

Ich wollte jetzt :

1/30 * das Integral zwischen den grenzen 0  und 30