Funktionsuntersuchung einer Funktionsschar

Question

Wir sollen eine Funtionsuntersuchung der Funktion x^x^a mit x>0 und a Element aller rationalen Zahlen machen.

Was ich allerdings nicht verstehe ist, wie man Wendepunkte und Nullstelle, Extremstellen bestimmen soll, wenn die Funktion doch mehrere Graphen hat.

Also wenn man die Nullstelle beispielsweise berechnet, was für eine Nullstelle ist das dann? Also von welchem Graphen?

Kann mir vielleicht jemand nur als Beispiel die Nullstelle oder Extremstelle dieser Funktion berechnen?

Selbst habe ich es auch versucht, erhält aber nur „undef“. Außerdem verstehe ich sowieso nicht, wie man eine Nullstelle berechnen soll, wenn die Funktion mehrere Nullstellen haben kann.

Ich hoffe ihr versteht mein Problem, vielen Dank im Voraus!

Comments

Wie ist denn der Funktiosterm zu interpretieren?

$$x^{\left(x^a\right)} \quad\text{oder}\quad \left(x^x\right)^a$$

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Ersteres also x^(x^a) / x^{(x^a)}

.

Answer 1

Das hängt dann immer von a ab. Du untersuchst auf diese Weise eben nicht nur

eine Funktion sondern ganz viele, die sich alle nur in

dem wert von a unterscheiden.

Hier wäre das etwa für die Extremstellen:

f_a ' (x) = ( a*ln(x) + 1 ) / x^( a+x hoch a)

und das ist gleich 0 wenn     a*ln(x) + 1 = 0

also          a*ln(x) = - 1

                       ln(x) = -1/a

                                   x = e^(-1/a)

Jede dieser Funktion hat also eine mögliche Extremstelle und

zwar jedes Mal an einer anderen Stelle, nämlich bei  e^(-1/a) ,

die eben von dem Wert von a abhängt.

Answer 2

Kann mir vielleicht jemand nur als Beispiel die Nullstelle oder Extremstelle dieser Funktion berechnen?

Für die Nullstellen muss der Funktionswert der Funktion Null werden

Nullstellen f(x) = x^x^a = 0

Du hast hier eine Exponentialfunktion vorliegen. An welchen Stellen wird die Exponentialfunktion Null. Ich denke an keiner oder? Also gibt es keine Nullstellen

Für die Extremstellen muss der Funktionswert der Ableitung Null werden

Extremstellen f'(x) = x^x^a·x^(a - 1)·(a·LN(x) + 1) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss nun einer der Faktoren Null werden.

Exponentialfunktionen wie x^x^a und x^(a - 1) werden aber nicht Null also

a·LN(x) + 1 = 0 --> x = e^(-1/a)

Wenn du jetzt das Verhalten an den Definitionsgrenzen kannst, dann weißt du auch was dieses für ein Extrempunkt sein müsste.