Rang der Matrix A^T A und AA^T in Abhängigkeit von A?

Question

Sei \( A=\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 1} \)

(i) Bestimme den Rang von A^TA und von AA^T in Abhängigkeit von A.

(ii) Entscheide, für welche A die Matrix A^TA und für welche A die Matrix AA^T regulär ist.

Answer 1

Bestimme den Rang von A^TA   =  [ a1^2 + a2^2 ]

Matrix mit einem Element hat Rang 0, wenn das die 0 ist und

Rang 1 sonst.

Das Element ist aber nur 0, wenn a1 = a2 = 0

Also    rang(  A^TA ) = rang (A)

 und von AA^T =   a1^2   a1a2

                             a1a2     a2^2

hat det = 0 also jedenfalls nicht rang 2 sondern

rang1 wenn mindestens einer a1 oder a2 ungleich Null ist und

sonst Rang 0

also wieder rang (   AA^T ) =  rang(A)

regulär heißt Maximalrang

also ist AA^T  niemals regulär und    A^TA  immer, wenn nicht a1=a2=0 ist.

Comments

Vielen Dank, eine kurze Rückfrage habe ich: 

Ist AA^T niemals regulär weil sie den Maximalrang, also rang 2 nie erreicht?

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Genau so ist es.