reihen auf konvergenz überprüfen?

Question

ich brauche hilfe bei diesen 4 aufgaben:

1) wie muss ich bei dieser aufgabe vorgehen:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \frac { ln(n)-\left[ ln(x) \right]  }{ { n }^{ 2 } }  } } $$

2) hier habe ich das so gemacht:

$$ \sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ { \frac { { n }^{ 2 }-2 }{ { n }^{ 5 }+n+1 }  } } $$

hier habe ich den ausdruck von oben geteilt durch $$ \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } $$ gemacht und habe am ende 1 geteilt duch 1 raus Ergebnis 1 ist das richtig??

3) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 6 }{ { 5 }^{ n } }  } $$

hier bin ich so vorgegangen: $$ \frac { 6 }{ 5 } *\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 1-6/5 }  } =\frac { 6 }{ 5 } *\frac { -5 }{ 1 } =\frac { -30 }{ 5 } =-6\quad kleiner\quad als\quad 1\quad konvergiert $$

4) $$ \sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \frac { n! }{ { 5 }^{ n+10 } }  } $$ hier komme ich bei dieser zuasammenfassung nicht weiter: $$ \frac { n!(n+1) }{ { 5 }^{ n }+{ 5 }^{ 11 } } *\frac { { 5 }^{ n }+{ 5 }^{ 10 } }{ n! } $$

Answer 1

Hi,

a) Reihe konvergiert. (Majorantenkriterium)

b) Du kannst nicht vorgehen wie bei Folgen. Wende das Quotientenkriterium oder Majorantenkriterium an und du siehst, dass die Reihe konvergiert.

c) Vorgehensweise wieder falsch. Reihe konvergiert aber (Q-Kriterium/ Wurzel-Kriterium)

d) Die Zusammenfassung kannst du auch hier vergessen, da du schon einen Fehler drin hast. Nach Q-Kritierum müsstest du den Bruch

$$ \frac{n!(n+1)}{5^n \cdot 5^{11}} \cdot \frac{5^n \cdot 5^{10}}{n!} = \frac{n+1}{5}$$

betrachten.

Gruß

Comments

zu B) kann ich das mit 1 geteilt durch n hoch 3 nicht bei reihen anwenden?

$$ \frac { { (n+1) }^{ 2 }-2 }{ { (n+1) }^{ 5 }+(n+1)+1 } *\frac { { n }^{ 5 }+n+1 }{ { n }^{ 2 }-2 } =\frac { { (n }^{ 2 }+2n+1)-2 }{ (4n+n+2)*({ n }^{ 2 }-2) } am\quad ende\quad habe\quad ich\quad aber\quad 1/1\quad raus $$

und was bedeutet eigentlich n=2??????

bei c habe ich jetzt das hier raus: $$ \frac { 6 }{ 5 } *\frac { 5 }{ 4 } =1.5\quad größer\quad als\quad 1\quad $$

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Die obere Umformung ist falsch. n=2 bedeutet einfach das die Summe bei n=2 beginnt. Das zeigt leider, dass du dir gar nicht klar bist was hier eigentlich gemacht wird :(.

Mit dem Quotientenkriterium kommst du bei der Aufgabe auch nicht weiter. Mit dem Majorantenkriterium kannst du aber zeigen, dass die Reihe konvergiert da ihr bestimmt schon gezeigt habt, dass

$$ \sum \frac{1}{n^3} $$

konvergiert.

bei c) kannst du auch die geometrische reihe anwenden. Bei Anwendung der Q-Kriteriums müsste bei dir aber am Ende stehen:

$$ \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{5} < 1 $$

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ich habe das quotientenkriteium angewendet und habe am ende 6 mal 5 hoch n geiteil durch 5 hoch n +30 raus dann habe ich die 5 hoch eine gekürzt und habe 6 durch 30 raus und das ist 1/5  müsste so auch richtig sein oder??

und noch eine dumme frage was wäre wenn da n gleich 2 oder 3 steht würde ich trotzdem auf 1/5 kommen???

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ich verstehe jetzt irgendwie gar nichts bei dieser aufgabe zb

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 8 }{ { 5 }^{ n } }  } $$ habe ich auch das quotientenkriterium gemacht aber als endergebnis bekomme ich 0,2. obwohl das die gleiche aufgabe wie oben ist kommt hier mit der geometischen reihe was anderes raus nämlich 2 laut lösung

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Wo wir wieder beim Thema kein Plan wären.

Mit der geometrischen Reihe kannst du den tatsächlichen WERT der Summe berechnen.

Mit dem Q-Kriterium kannst du das KONVERGENZVERHALTEN untersuchen, der Wert den du am Ende rausbekommst hat nix mit dem Grenzwert der SUMME zu tun sondern sagt dir nur im Falle kleiner als 1, dass die Reihe gegen einen Wert konvergiert.