Extremwertaufgabe: Strecke zwischen 2 Graphen

Question

ich sitze nun schon längere Zeit an diesem Aufgabenteil und ich komme einfach nicht drauf wie ich hier überhaupt erst anfangen soll.

c) Die Parabel mit der Gleichung y=-0,5*(x-2)² und das Schaubild K schließen im 4. Quadranten eine Fläche ein. Für geeignete Werte von a schneidet die Gerade mit der Gleichung x=a aus dieser Fläche eine Strecke aus. Untersuchen Sie, welche Werte die Länge dieser Strecke annehmen kann.

K: f(x)=x³-3x-2

Answer 1

Hi,

also zu erst solltest du die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmen, damit du ein Gefühl für diese ominöse Schnittfläche bekommst. Die Gerade x = a ist einfach eine vertikale. Die Strecke die aus der besagten Schnittfläche ausgeschnitten wird entspricht ja demnach einfach nur dem Abstand der y-Werte beider Funktionen für x = a. Was du also suchen sollst ist das lokale Minimum von der Abstandsfunktion (auch Differenzfunktion genannt):

$$ h(x) = f(x) - y = x^3-3x-2+0,5(x-2)^2$$

im Bereich der ermittelten relevanten Schnittpunkte.

Hier hätte eine Skizze eventuell schon für diese Ansätze gesorgt.

Edit: lokale Minimum wegen der Lage der Funktionen im 4. Quadranten.

Gruß

Comments

Erstmal

Also die Differenzfunktion habe ich aufgestellt, dann die Schnittpunkt ermittelt, also h(x)=0 gesetzt. Dann bekomme ich folgende x-Werte: x₁=-2,5, x₂=0, x₃=2

Jetzt weiß ich ja das ich nur die Fläche im 4. Quadranten benötige, also von 0 bis 2.

Dann halt die erste Ableitung von der Differenufunktion: h'(x)=3x²+x-5 Null setzen, um die Extremwerte zu bestimmen.

0=3x²+x-5, im Intervall 0 bis 2, da bekomme ich dann den Wert x=1,13504 raus, aber jetzt weiß ich irgendwie nicht mehr weiter was ich mit dem Maxima Wert anfangen soll, weil wenn ich Ihn in h(x) einsetze, sprich h(1,13504) bekomme ich den y-Wert von -3,568 raus, also wenn es um den Abstand geht den Betrag |-3,568|.

Doch die Lösung von meinem Lehrer lautet a=(√3)/6 sprich a=0,288, was habe ich falsch gemacht?

Danke für die Hilfe :)

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Durch rumprobieren fand ich raus, dass das Ergebnis meines Lehrers nicht stimmen kann, es ergibt überhaupt keinen Sinn :D.

Danke für deine Hilfe!

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Kein Problem super das es so schnell geklappt hat. Ich muss mich selbst korrigieren, es wird natürlich das Minimum gesucht wenn man die Differenzfunktion so aufstellt wie ich es hingeschrieben habe, da in dem relevanten Bereich die Parabel oberhalb der Kurve K ist.

Aber du hast bis dahin so weit alles richtig gemacht. Deine Ergebnisse machen so weit alle Sinn. Kann keinen Fehler entdecken.

Gibt's vielleicht ein Fehler in der Aufgabenstellung? Müsste es vielleicht y=a heißen (selbst dann sollte aber nicht das Ergebnis deines Lehrers rauskommen)? Andernfalls fällt mir auf Anhieb nix ein, woher die Diskrepanz kommt (aber wie gesagt zu der von dir beschriebenen Aufgabenstellung hast du alles korrekt gemacht).