Die jeweils gegenüberliegenden Winkel des entstehenden Vierecks errechnen sich wie folgt:
α = γ = 180° - arccos (x/√(x2+(8-x)2)) - arcsin (x/√(x2+(6-x)2))
β = δ = 180° - arccos (x/√(x2+(6-x)2)) - arcsin (x/√(x2+(8-x)2))
(Nebenbei ist das der Beweis dafür, dass zumindest ein Parallelogramm entsteht.)
Unter der Annahme, dass das entstehende Viereck ein Rechteck ist, muss jeder Winkel 90° sein.
Also z.B. α = 90°
In die obrige Gleichung eingesetzt, ergibt sich, dass nur für x = 0 und x = 7 die Gleichung erfüllt ist. Beide Lösungen sind aber im Sinne der Aufgabenstellung unbrauchbar.
Daraus folgt, dass das entstehende Viereck kein Rechteck sein kann und damit wird die Sache hässlich.
Glücklicherweise haben wir oben nachgewiesen, dass das Viereck wenigstens ein Parallelogramm ist.
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms errechnet sich : A = a*b*sin α
In unserem Fall: a = √(x2+(6-x)2) b = √(x2+(8-x)2)
α = 180° - arccos (x/√(x2+(8-x)2)) - arcsin (x/√(x2+(6-x)2))
Damit ergibt sich die Zielfunktion: A(x) = √(x2+(6-x)2) * √(x2+(8-x)2) * sin {180° - arccos [x/√(x2+(8-x)2)] - arcsin [x/√(x2+(6-x)2)]}, die ein Minimum haben soll.
Ohne Rechner geht da nix mehr.
Mein Taschenrechner spuckt nach einiger Zeit folgende Werte aus: x = 3,357 cm und A = 24,48 cm2