Scheitelpunkt von Parabel. In Rechteck wird in jeder Ecke im Uhrzeigersinn die Strecke x abgetragen.

Question

folgende Aufgabe:

Man stelle sich ein Rechteck mit den Seitenlängen 8 und 6 m vor. von jeder Seite wird gegen den Uhrzeigersinn eine Strecke x abgetragen. Bestimmen sie die Länge x so, dass ein kleineres Rechteck ind das oben gennante Rechteck hineinpasst , seine Eckpunkte an den Enden der Strecke x hat und gleichzeitig minimalen flächeninhalt haben soll.

begründen sie ob das entstandene Viereck ein Rechteck ist. Hoffe die Zeichung ist mit dabei ist vielleicht schwer sich das vorzustellen. DANKE

Comments

dass ein kleineres Rechteck ind das oben gennante Rechteck hineinpasst ,

Steht hier schon Rechteck?

Hast du eine massstabgetreue Skizze?

Answer 1

Die jeweils gegenüberliegenden Winkel des entstehenden Vierecks errechnen sich wie folgt:

α = γ = 180° - arccos (x/√(x²+(8-x)²)) - arcsin (x/√(x²+(6-x)²))

β = δ = 180° - arccos (x/√(x²+(6-x)²)) - arcsin (x/√(x²+(8-x)²))

(Nebenbei ist das der Beweis dafür, dass zumindest ein Parallelogramm entsteht.)

Unter der Annahme, dass das entstehende Viereck ein Rechteck ist, muss jeder Winkel 90° sein.

Also z.B. α = 90°

In die obrige Gleichung eingesetzt, ergibt sich, dass nur für x = 0 und x = 7 die Gleichung erfüllt ist. Beide Lösungen sind aber im Sinne der Aufgabenstellung unbrauchbar.

Daraus folgt, dass das entstehende Viereck kein Rechteck sein kann und damit wird die Sache hässlich.

Glücklicherweise haben wir oben nachgewiesen, dass das Viereck wenigstens ein Parallelogramm ist.

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms errechnet sich : A = a*b*sin α

In unserem Fall: a = √(x²+(6-x)²)  b = √(x²+(8-x)²)  

                               α = 180° - arccos (x/√(x²+(8-x)²)) - arcsin (x/√(x²+(6-x)²))

Damit ergibt sich die Zielfunktion: A(x) = √(x²+(6-x)²) * √(x²+(8-x)²)  * sin {180° - arccos [x/√(x²+(8-x)²)] - arcsin [x/√(x²+(6-x)²)]}, die ein Minimum haben soll.

Ohne Rechner geht da nix mehr.

Mein Taschenrechner spuckt nach einiger Zeit folgende Werte aus:  x = 3,357 cm und A = 24,48 cm²

Comments

Hm, es geht auch leichter.

Wenn man den Flächeninhalt des Parallelogramms aus der Differenz der Flächeninhalte des ursprünglichen Rechteckes und der 4 entstehenden Dreiecke errechnet. Jeweils 2 Dreiecke sind kongruent (SWS)

Dann ergibt sich: A_Rechteck = 8*6 = 48

                                A_Dreieck1 = 1/2 * x * (8-x)

                                A_Dreieck2 = 1/2 * x * (6-x)

Daraus folgt:

                               A_gesucht = 48 - x* (8-x) - x*(6-x) = 2x² -14x + 48

Dies soll Minimal werden.

Ableitungen:            A '_gesucht= 4x - 14         A ''_gesucht= 4 

Nullsetzen:               0 = 4x -14

                                   x  =   14/4 = 3,5

Da A '' (x) > 0 für alle x folgt ein Minimum bei x = 3,5

Somit ist die gesuchte Strecke x = 3,5 cm und der dazu gehörige Flächeninhalt A = 23,5 cm².

Ich glaube, das ist der Weg, der eingeschlagen werden sollte, da der obrige etwas zu rechenintensiv ist, woher wahrscheinlich auch die Differenz zwischen beiden Ergebnissen kommt.