Aufgabe Eigenschaften von Funktionen:
Ein Unternehmen stellt Notebooks her. Bei einem Preis von 500 € pro Stück werden wöchentlich 600 Notebooks verkauft. Die Produktionskosten betragen pro Gerät stets 300 €. Außerdem fallen wöchentlich unabhängig von der Anzahl der hergestellten Geräte weitere 20000 € an Kosten an.
a) Berechnen Sie den wöchentlichen Gewinn.
b) Marktbeobachtungen haben folgenden Zusammenhang zwischen dem Stückpreis \( p \) und der pro Woche verkauften Menge y der Notebooks ergeben: \( y=\frac{73500000}{(p-150)^{2}} \) für \( p>300 \).
Für welchen Preis p wird der Gewinn maximal? Wie groß ist der wöchentliche Gewinn und wie viele Geräte werden pro Woche hergestellt?
c) Alternativ zur Preisgestaltung wie in Teilaufgabe b) überlegt die Unternehmensleitung, den Verkaufspreis unverändert bei 500 € pro Stück zu belassen und gleichzeitig eine Werbekampagne durchzuführen. Es wird folgender Zusammenhang zwischen den wöchentlichen Kosten \( w \) für die Werbung und die pro Woche verkaufte Menge y der Notebooks angenommen: \( y=1000-400 e^{-0,0001 \cdot w}, w>0 \). Zeigen Sie, dass man für \( \mathrm{w}=0 \) die ursprüngliche Verkaufsmenge erhält.
Der Gewinn in Abhängigkeit von den Werbekosten wird mit \( \mathrm{h}(\mathrm{w}) \) bezeichnet. Geben Sie den Funktionsterm \( h(w) \) an und berechnen Sie, wie hoch die Werbekosten \( w \) sein müssen, damit der Gesamtgewinn aus Produktion und Vermarktung (Verkaufserlös abzüglich Produktions- und Werbekosten) maximal wird.
Wie groß ist der wöchentliche Gewinn und wie viele Geräte werden pro Woche hergestellt?
