Binomialverteilung Schatztruhe; Oberstufe Gymnasium

Question

Beim Spiel "Finde den Schatz" muss ein Kandidat abgesperrte Truhen öffnen. Bei jeder Truhe stehen ihm dabei  5 sehr ähnliche Schlüssel zur Verfügung, von denen nur einer das jeweilige Schloss entriegelt. Pro Truhe darf der Kandidat zwei verschiedene Schlüssel ausprobieren.

a) Bestätigen Sie, dass bei einer Truhe die Wahrscheinlichkeit für das Öffnen bei 40% liegt
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
    A: Von 20 Truhen wird genau die Hälfte geöffnet
    B: von 20 Truhen werden mindestens 13 geöffnet
c) finden Sie heraus, wie viele Truhen mindestensfür das Spiel zur Verfügung stehen müssen, dass der Kandidat mit einer WSK von mehr als 98% wenigstens eine Truhe öffnet?

Leider hakts bei mir schon bei der a)
Mein Lösungsansatz wäre da:

((2 über 1)*(3 über 1))/(5 über 2)
da kommt allerdings 0,6 und nicht 0,4 raus...

Vielen Lieben dank schon mal für eure Hilfe!

Answer 1

HI,
dein Fehler in a) liegt darin, dass es $$ \frac{\binom{1}{1} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{5}{2} } $$ sein müsste, um mal in deiner Berechnungsart zu bleiben. Es gibt nämlich nur einen richtigen Schlüssel!
Kommst du mit dem Rest zu recht?Gruß

Comments

Ah stimmt das ergibt Sinn! Danke
Leider komm ich mit der b) auch nicht so wirklich zurecht...

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Das kannst du doch mit der Binomialverteilung machen :) weißt du wie das geht?

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Also quasi (20 über 10)*0,4^10*0,6^10 ?

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Ja genau :) Bei dem zweiten Teil der b) natürlich das Wort "mindestens" beachten.

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Die b) wäre dann
P(X>=13) = 1-P(X<=13) = 1-∑B(20; 0,4; i) (Summe von i=0 bis 13)
stimmt das soweit?

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Fast es müsste1-P(X<=12) sein und deine Summe somit nur bis 12 gehen ;)Aber machst einen fitten Eindruck!

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Super! vielen Dank für deine Hilfe :)

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Kein Problem auf die Art immer gerne :)

Answer 2

Die a)-Aufgabe lässt sich auch ohne Binomialkoeffizienten lösen:

P("Öffnen einer Truhe") = P("Öffnen mit erster Schlüsselwahl") + P("Öffnen mit zweiter Schlüsselwahl")

P("Öffnen mit erster Schlüsselwahl") = 1/5

P("Öffnen mit zweiter Schlüsselwahl") = P("Mit erstem Schlüssel nicht geöffnet") * P("Mit zweitem Schlüssel geöffnet")

P("Mit erstem Schlüssel nicht geöffnet") = 1 - P("Öffnen mit erster Schlüsselwahl") = 1 - 1/5 = 4/5

P("Mit zweitem Schlüssel geöffnet") = 1/4 (nun gibt es nur noch vier Schlüssel, der erste hat ja nicht funktioniert)

P("Öffnen mit zweiter Schlüsselwahl")  = 4/5 * 1/4 = 4/20

P("Öffnen einer Truhe") = 1/5 + 4/20 = 4/20 + 4/20 = 8/20 = 4/10 = 40 %

Comments

Schön ausführlich. Kürzer würde es noch direkt über das Gegenereignis gehen.

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Meinst du die Stelle P("Mit erstem Schlüssel nicht geöffnet") = 1 - P("Öffnen mit erster Schlüsselwahl")?

Das ist ja damit gemeint, denn $$P_1 \text{ heißt Gegenereignis von } P_2 \Longleftrightarrow P_2 = 1 - P_1$$

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Nein ich meine die Wahrscheinlichkeit das man die Truhe nicht öffnet ist ja einfach 4/5*3/4 = 60% und dies ist das Gegenereignis dazu, dass man die Truhe öffnet :)

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Achso, also im Sinne der "gesamten" Wahrscheinlichkeit -- ja, das wäre in der Tat ein wenig einfacher.