Mehrfachintegral masse bestimmen

Question

10) Im dreidimensionalen Raum wird aus dem Zylinder x^2 + y^2 < 4 durch die xy- Ebene und die Fläche z = e^{x2+Y2})) ein Körper herausgeschnitten. Welche Masse hat dieser Körper, wenn seine Dichte durch Q(x, y, z) = uy^2mit u = const. gegeben ist? 

Die Grenzen konnte ich schon bestimmen (Zylinderkoordinaten benutzt)

0 < 2pi

0 < 2 (Radius)

0 < e^{r^2} (man beachte das hier nicht das potenzgesetz angewendet kann.

Das Problem bei mir beginnt beim Punkt wo ich nach r integriere und meine Grenzen einsetzen soll. Eines davon ist die 0 und beim Integral von e^{r^2}habe ich eine 0 im Nenner. Jedoch finde ich meinen Fehler nicht :/

Ich frage mich ob ich vielleicht direkt zu Beginn einen Fehler begannen habe?

x=r*cos phi

y=r*sin phi

Ich habe für dy und dx einfach dr und dpi benutzt. Hätte ich erst die jeweiligen Ableitungen und nach dy und dx umformen müssen und dann beginnen?

Und falls ja muss ich dann x=r*cos phi ableiten oder x=2*cos phi?

Answer 1

Hi,

bei so einer Aufgabenstellung wäre es echt von Vorteil deine Zwischenergebnisse mathematisch aufzuschreiben (also wie weit du mit dem Integral bist etc.). Du musst dir klarmachen, dass bei Verwendung der Integration über Zylinderkoordinaten du nicht einfach "dx" durch "dphi" auswechseln darfst.

Zu erstmal die Dichte in Zylinderkoordinaten:

$$ Q(r, \varphi, z) = u\cdot r^2\sin^2(\varphi) $$

Deine Aufgabe -> Berechne:

$$ \iiint Q(r,\varphi,z)rdr\varphi dz$$

Die Grenzen hast du ja.

Gruß