Zeigen Sie, jede in C konvergente Folge ist beschränkt?!

Question

Wir haben eine komplexe Folge in C. Wir sollen zeigen, dass jede in C konvergente Folge dort beschränkt ist.

Ich nenne die Folge a(n) mit n aus N. Und ich weiß dass eine Folge beschränkt ist, wenn es ein M aus R+ gibt, sodass Ia(n)I<M für alle n gilt.

Answer 1

Zu zeigen:

Ich nenne die Folge a(n) mit n aus N. Und ich weiß dass eine Folge beschränkt ist, wenn es ein M aus R+ gibt, sodass Ia(n)I<M für alle n gilt.

Beweis:

Gemäss Voraussetzung ist a(n) konvergent. Nenne den Grenzwert a. D.h. nun ab einem bestimmten n0 weicht der Folgenwert nicht nur noch um weniger als Epsilon  von a ab. Also ist ab dort |a(n)| < |a| + Epsilon = : A.

Bei den ersten n0 Folgengliedern existiert ein maximaler Betrag B:= max {|a(1)|, |a(2)|,...,|a(n0)|}, da es sich um eine endliche Menge von Elementen handelt.

Nun kann man dein M : = max{ A,B} wählen. 

Es existiert somit immer. qed

Comments

Muss ich das gleiche dann auch noch für einen minimum Wert machen?

Also muss ich quasi obere und untere Schranken zeigen. So wäre es doch jetzt nur in "eine Richtung" oder?

Liebe Grüße

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Nein. Da wir mit dem Betrag gearbeitet haben, sind alle Richtungen um 0+0i schon berücksichtigt.