Ist jede Folge, die konvergent und monoton ist, auch beschränkt?

Question

Ich Regel ist: Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Gilt dann auch die obige Behauptung? Kann mir das auch einer beweisen?

Comments

Ist nicht jede konvergente Folge beschränkt?

Answer 1

wenn du denn von Der Mathecoach zitierten Satz nicht kennst:
Beweis nicht schwierig:

an konvergent folgt: Es gibt eine GW g und für jedes eps > o liegen ab einem
gewissen no alle Folgenglieder in eps-Umgebung von g.

also sind von no an alle Folgengliede kleiner als  g+1, wenn du z.B. eps=1 wählst.
Die ersten no Folgenglieder sind aber endlich viele, besitzen also ein Maximum m.

Das Maximum von m und g+1 ist also eine obere Schranke für die Folge.

untere geht so ähnlich.

Oder ging es dir um monoton ?
Das ist natürlich nicht bei jeder konv. Folge so.
Gegenbeispiel    (-1)^1 * (1/n)  hat GW 0 ist aber nicht monoton.