Komplexe Zahlenebene: Skizzieren Sie die Mengen und f_{1}(M_{3})

Question

f_{1}: ℂ → ℂ: z ↦ (4 + 3i)z

M_{1} = { z ∈ ℂ / |z| = 1/2 }

Skizzieren Sie die Mengen und f_{1}(M_{3})

f_{1}(M_{1}): f(zI) = |4+3i| · |z| (( cos(δ_{z} + tan 3/4)) - i·sin( δ_{z} + tan 3/4)

|4+3i| = 5

Fragen

1: Wie kommt man auf die 5?

2: Wie kommt man allgemein auf die Funktion von f(z)?

3: Woher kommen die +tan3/4?

Answer 1

Hallo

Die 5 ist der Betrag des Multiplikationsfaktors  p = 4 + 3i  (nach Pythagoras berechnet).

tan(3/4)  kommt (in einer richtigen Lösung) nicht vor, aber  arctan(3/4) . Dies ist der Polarwinkel φ des Faktors, den ich mit p bezeichnet habe.

Wenn man die Aufgabe nicht nur rechnerisch, sondern auch mit etwas Geometrie anschaut, kann man die Mengen recht leicht einzeichnen. M₁ wird durch einen Kreis um  0 = 0 + 0i  dargestellt. Radius ?

Das Bild f₁(M₁) ist ebenfalls ein Kreis, der aus M₁ durch eine Drehstreckung entsteht, die ihr Zentrum in 0 hat und im Übrigen durch den Streckungsfaktor  |p| und den Drehwinkel  φ festgelegt ist.

LG