Komplexe Zahlen mehrfache Multiplikation

Question

Aufgabe:

\( \left(\cos \left(20^{\circ}\right)+\sin \left(20^{\circ}\right) i\right)\left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right) 2 e^{i 45^{\circ}} \)

Angabe als komplexe Zahl.

Problem/Ansatz:

dies gibt ja 2e^i20° * e^i45° * e^i300°

Wenn ich jetzt 2e^i365° bekomme, muss ich da 5° nehmen? -> 2(cos(5°) + sin(5°)i)

z = 2(cos(5) + 2(sin(5))

\( \left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right) \) ergibt ja -60°, jedoch ist es im 4. Quadrant. -> +360° -> 300°.

Ist das richtig überlegt?

Answer 1

Aloha :)

Die Aufgabe kannst du vollständig mit \(e\)-Funktionen schreiben:$$\cos(20^o)+i\sin(20^o)=e^{i\,20^o}$$$$\frac{1-\sqrt3\,i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\,i=\cos60^o-i\,\sin60^o=e^{-i\,60^o}$$Damit ist das Ergebnis:$$e^{i\,20^o}\cdot e^{-i\,60^o}\cdot2\cdot e^{i\,45^o}=2\,e^{i\,5^o}$$Zu deiner anderen Frage. Beim Argument der komplexen e-Funktion kannst du beliebig oft \(2\pi\) bzw. \(360^o\) addieren oder subtrahieren:$$e^{i(\varphi+n\cdot 2\pi)}=e^{i\varphi}\quad;\quad e^{i(\varphi+n\cdot 360^o)}=e^{i\varphi}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$Daher ist \(e^{i\,365^o}=e^{i\,5^o}\).

Comments

ok, das habe ich verstanden: e^i365 -> 1 * e^i5

Soviel ich weiss, muss man ja den Korrekturwinkel hinzufügen bei bestimmten Quadranten. Wieso kann man hier einfach mit -60° weiterrechnen?... Am Schluss komme ich jedoc hschon auf die richtige Lösung, aber das macht noch nicht so Klick.

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Den "Korrekturwinkel" brauchst du nur, wenn du das Argument der \(e\)-Funktion mit Hilfe der \(\arctan\)-Funktion ausrechnest:$$\varphi=\arctan\left(\frac{\text{Imaginärteil}}{\text{Realteil}}\right)$$Falls der Realteil \(<0\) ist, musst du \(180^o\) bzw. \(\pi\) als Korrekturwinkel addieren.

In deiner Aufgabe konnte man die komplexe Zahl direkt mit Sinus und Cosinus schreiben, daher war kein Korrekturwinkel nötig.