Komplexe Zahlen Multiplikation Beweis

Question

Aufgabe:

Es soll folgendes bewiesen werden:

(einzeln konjugiert) z1 * z2 = z1*z2 (ergebnis konjugiert)

Konnte im LaTeX-Assistenten leider nicht das Zeichen für konjugiert finden daher die Klammerschreibweise.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz bisher ist folgender:

z1 = (2+3i)

z2 = (4+5i)

Bei der einzelnen Konjugation erhalte ich:

$$(2-3i)\cdot(4-5i)= 8-10i-12i+15i^{2}=8-22i+15(-1)=-7-22i$$

und bei der Konjugation des Ergebnisses erhalte ich:

$$(2+3i)(4+5i)=8+10i+12i+15i^{2}=8+22i+15(-1)=-7+22i=7-22i$$

wenn ich nur das Vorzeichen des Imaginärteils umdrehen würde, würde der Beweis ja stimmen aber muss nicht das gesamte Ergebnis umgedreht werden?

Answer 1

wenn ich nur das Vorzeichen des Imaginärteils umdrehen würde, würde der Beweis ja stimmen

Welcher "Beweis"?

Du hast gerade mal versucht, ein selbst gewähltes konkretes Zahlenbeispiel durchzurechnen. Das beweist gar nichts.

Wähle

z1 = (a+bi)
z2 = (c+di)

und versuche es erneut.

aber muss nicht das gesamte Ergebnis umgedreht werden?

Wie kommst du auf den Unsinn. Komplexe Zahl und dazu konjugiert komplexe Zahl haben den gleichen Realteil!

Comments

Danke für deine Antwort, wäre dann folgendes Ergebnis korrekt?

$$(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi^{2}=ac-adi-bci-bd$$

und

$$(a-bi)(c-di)=ac-adi-cbi+bdi^{2}=ac-adi-bci-bd$$

---

Deine erste Gleichungskette ist formal falsch.

Die Gleichung ist vor dem zweiten Gleichheitszeichen zu Ende.

Nun bildest du vom Ergebnis das konjugiert Komplexe.

Dabei bekommst du das, was bei dir hinter dem zweiten Gleichheitszeichen steht.

(So wie du es aufgeschrieben hast sieht das so aus, als wäre die komplexe Zahl gleich ihrer konjugiert komplexen Zahl.)

---

Ah sorry da hat sich ein Flüchtigkeitsfehler bei der ersten Gleichung eingeschlichen. Muss man eigentlich bdi2 auch ausrechnen also bd(-1) oder kann man bdi2 stehen lassen? Ich glaube ich habe immer den Fehler gemacht bdi2 auszurechnen und anschließend nochmal zu konjugieren.

Answer 2

du musst viel allgemeiner vorgehen! Das ist ein typischer Fehler, den man zu Beginn bei solchen Aufgaben hat. Nur,  weil \(2^2=2+2=2\cdot 2!\) gilt nicht \(x^x=x+x=2\cdot x!\) für alle \(x\in \mathbb{R}\).

 Setze \(z_1:=x+iy\) und \(z_2:=a+ib\) mit \(a,b,x,y\in \mathbb{R}\). Hier musst du nur nachrechnen.