Rein zufällige Wahl bei uniform verteilter Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

Wir betrachten eine Gesamtfläche S bestehend aus g Pixeln und eine Teilfläche A bestehend aus f: = p·g Pixeln. Dabei sei p eine Zahl im Intervall [0,1], und sowohl g als auch f seien natürliche Zahlen. Die dreimalige rein zufällige Wahl eines Pixels aus S (entsprechend einem “Ziehen mit Zurücklegen”), beschreiben wir durch eine auf dem Wertebereich {1, . . . , g}³ uniform verteilte Zufallsvariable X= (X₁, X₂, X₃).

a) Wieviele Ausgänge von X gibt es?

b) Wieviele Ausgänge von X gibt es, bei denen X₁ auf die Menge {1, . . ., f} und X₂ sowie X₃ auf die Menge {f+ 1, . . . , g} fallen? Drücke das Ergebnis durch g und p aus.

c) Wieviele Ausgänge von X gibt es, bei denen genau eines der drei gewählten Pixel auf die Menge {1, . . . , f} fällt?

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass von den drei zufällig aus S gewählten Pixeln genau eines aus A gewählt wird?

e) Bestimme die 4 möglichen Ausgänge der zufälligen Trefferquote M von A, sowie deren Verteilungsgewichte

Problem/Ansatz:

a) Es würde 8 verschiedene Ausgänge geben.

1) Kein Pixel liegt in A

2) Pixel 1 liegt in A, dafür Pixel 2 und Pixel 3 nicht.

3) Pixel 2 liegt in A, dafür Pixel 1 und Pixel 3 nicht

4) Pixel 3 liegt in A, dafür Pixel 1 und Pixel 2 nicht

5) Pixel 1 und Pixel 2 liegen in A, dafür Pixel 3 nicht

6) Pixel 1 und Pixel 3 liegen in A, dafür Pixel 2 nicht

7) Pixel 2 und Pixel 3 liegen in A, dafür Pixel1 nicht

8) Alle Pixel liegen in A

=> 8 Ausgänge. (?)

Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich's mir nicht zu einfach mache.

b) Hier versteh' ich nicht, was mit X₁ auf der Menge {1,...f} und X₂ und X₃ auf den Mengen {f+1,...g} gemeint sein soll. Meinen die damit, dass X₁ auf die Teilmenge A fällt und X₂ und X₃ nicht? In dem Fall wäre es nur ein Ausgang. Aber ich glaub' , damit ist etwas anderes gemeint.

c) Hier wieder diesselbe Argumentation wie bei a). Es würde 3 Ausgänge geben (Pixel 1, Pixel 2 oder Pixel 3). ?

d) M = z₁ + z₂ + z₃

{M = 1} = ({x₁ ∈ F} ∩ {x₂ ∉ F} ∩ {x₃ ∉ F}) ∪ ({x₂ ∈ F} ∩ {x₁ ∉ F} ∩ {x₃ ∉ F}) ∪ ({x₃ ∈ F} ∩ {x₁ ∉ F} ∩ {x₂ ∉ F})

= 3 * (p * (1-p)² )

Richtig?

e) Und hier versteh ich nicht, was genau mit 4 möglichen Ausgängen der Trefferquote gemeint sein soll. Es gibt doch, vorausgesetzt ich habe Aufgabenteil a) richtig gelöst, 8 Ausgänge, oder?

Ich weiß, dass man die Verteilungsgewichte mittels p (b) = P (M = b), b ∈ S berechnet. Und mann dann die möglichen Wahrscheinlichkeiten (also eine Zahl zwischen 0 und 1) gleich M setzt. Aber mich verwirrt diese "4 mögliche Ausgänge"?. Das würde doch eher bei 2 Zufallsvariablen zutreffen und nicht für drei?

Kann jemand bitte ein bisschen Licht ins Dunkle bringen?

Danke und liebe Grüße,

Marceline, The Vampire Queen

Comments

Die Aufgabe ist nicht klar definiert was die Zufallsgröße betrifft. Beispiel:

Sei X = (X₁,X₂,X₃,...X_n) das Ergebnis von n Versuchen mit einem Würfel, dann ist X auf der Wertemenge {1,2,3,4,5,6}^n uniform verteilt. Die Anzahl der Ausgänge ist dann 6^n.

Weil in der Aufgabe die Wertemenge mit {1,...,g}^3 angegeben ist, scheint es so zu sein, dass die Zufallsgrösse die Nummer des ausgewählten Pixels angibt. Dann gäbe es bei 3 Versuchen g^3 Ausgänge. Die genannte Teilfläche A wäre dann bei dem Beispiel mit dem Würfel so aufzufassen, dass eine gezogene Zahl k kleiner gleich f ist (f < 6).

Wäre die Zufallsgrösse die Eigenschaft "Pixel liegt in Teilmenge A (=1) bzw. nicht in Teilmenge A (=2), dann wäre X auf der Wertemenge {1,2}^3 uniform verteilt. Dann gäbe es wie von Dir vermutet nur 2^3 = 8 Ausgänge. Ich nehme zwar an, dass in der Aufgabe letzteres gemeint ist, aber das ist nirgends definiert.

Answer 1

a) Wieviele Ausgänge von X gibt es?

\(g^3\)

b) Wieviele Ausgänge von X gibt es, bei denen X1 auf die Menge {1, . . ., f} und X2 sowie X3 auf die Menge {f+ 1, . . . , g} fallen? Drücke das Ergebnis durch g und p aus.

\(f\cdot (g-f)^2 = gp \cdot(g-gp)^2=gp\cdot(g(1-p))^2=g^3p(1-p)^2\)

c) Wieviele Ausgänge von X gibt es, bei denen genau eines der drei gewählten Pixel auf die Menge {1, . . . , f} fällt?

\(3g^3p(1-p)^2\)

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass von den drei zufällig aus S gewählten Pixeln genau eines aus A gewählt wird?

\(\frac{3g^3p(1-p)^2}{g^3}=3p(1-p)^2\)

e) Bestimme die 4 möglichen Ausgänge der zufälligen Trefferquote M von A,

\(M\in\{0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1\}\)

sowie deren Verteilungsgewichte

k	0	1/3	2/3	1
P(M=k)	\(\frac{(g-f)^3}{g^3}\\=(1-p)^3\)	\(\frac{3f\cdot (g-f)^2}{g^3}\\=3p(1-p)^2\)	\(\frac{3f^2\cdot (g-f)}{g^3}\\=3p^2(1-p)\)	\(\frac{f^3}{g^3}\\=p^3\)

Die Anzahl der Treffer ist also binominalverteilt.

Comments

Vielen Dank Trashcan.
Hatte es in der Zwischenzeit auch nochmal selbstständig probiert und bis auf die 1b) hatte ich alles genau so wie du :) Danke.