Beweise mit den Körperaxiomen, dass a/(a±b) = d/(c±d), wenn a/b = c/d

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass unter Voraussetzung \( \dfrac{a}{b} \) =\( \dfrac{c}{d} \)  folgendes gilt: \( \dfrac{a}{a±b} \) = \( \dfrac{c}{c±d} \)

Problem/Ansatz:

Also mein Ansatz wäre gewesen, das \( \frac{a}{b} \) × 1 = \( \frac{a}{b} \) × \( \frac{a+b}{a+b} \)

Aber das würde sich dann auflösen in \( \dfrac{a²+ab}{b²+ba} \) und das würde dann durchs kürzen was völlig anderes rauskommen als ich eigentlich wollte. Ich hänge an der Aufgabe seit über ner Stunde und komme nicht weiter.

Comments

Körperaxiome findest du z.B. hier https://www.mathelounge.de/161673/beweis-mit-korperaxiomen?show=162293#c162293

Am besten aber die Nummerierung aus deinen Unterlagen bei den Umformungen verwenden.

Answer 1

Also mit Körperaxiomen kann ich jetzt nicht anfangen, aber mit elementaren Umformungen geht das so:

Aus a/b=c/d folgt auch

b/a=d/c.

Man addiert 1 auf beiden Seiten:

1+ b/a =1+ d/c

1 als Bruch schreiben:

a/a+ b/a =c/c+ d/c

Addieren:

(a+b)/a=(c+d)/c

Reziproke bilden:

a/(a+b)=c/(c+d)

(Wenn man 1 nicht addiert, sondern subtrahiert, entsteht die Minus-Variante.)