Körperaxiome: Regeln für Bruchrechnung herleiten

Question

Aufgabe:

Leiten Sie aus den Körperaxiomen die folgenden Regeln der Bruchrechnung her: Für \( b \neq 0 \) und \( d \neq 0 \) gilt

$$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow a d=b c, \quad \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d+b c}{b d}, \quad\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{c}{d}\right)=\frac{a c}{b d} $$

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Comments

hi

bei (ad ± bc)/(bd) kannst du durch umformungen auf a/b ± c/d kommen.

schreibe den nenner als (bd)^-1 und forme weiter um.

verfahre ebenso bei (ac)/(bd).

Answer 1

a/b = c/d

⇔ a · 1/b = c · 1/d laut Definition "Bruch"

⇔ (a · 1/b) · b = (c · 1/d) · b wegen b≠0

⇔ a · (1/b · b) = (c · 1/d) · b wegen Assoziaativgesetz

⇔ a · 1 = (c · 1/d) · b laut Definition 1/b

⇔ a = (c · 1/d) · b wegen Neutralität der 1 bez. Multiplikation

⇔ a = b · (c · 1/d) wegen Kommutativgesetz

⇔ a = (b · c) · 1/d wegen Assoziativgesetz

⇔ a · d = ((b · c) · 1/d)·d wegen d≠0

⇔ a · d = (b · c) · (1/d·d) wegen Assoziativgesetz

⇔ a · d = (b · c) · 1 laut Definition 1/d

⇔ a · d = b · c wegen Neutralität der 1 bez. Multiplikation