Ich soll die Regeln der Bruchrechnung zeigen

Question

Man zeige: Es gelten die folgenden Regel für Bruchrechnungen (a, b, c, d ∈ ℝ, b ≠ 0, d ≠ 0) :

$$ \frac { a }{ b } =\frac { c }{ d } $$ gilt genau dann, wenn ad = bc ist.

Ich habe keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Bin um jeden Hinweis dankbar.

Answer 1

   Das kannst du übrigens mit jeder ( kommutativen ) Gruppe machen. ( |R+ ; * ) ist eine Gruppe.

      a  b ^ -1  =  c  d ^ -1   |  *  b  d       (  1a  )

      a  (  b ^ -1  b  )  d  =  c  (  d ^ - 1 b  d  )    (  1b  )

     a  d  =  (  c  b  )  (  d  ^ -1  d  )     (  1c  )    (  Kommutativgesetz auf der rechten Seite )

     a  d  =  c  b     (  1d  )  wzbw

    Jetzt die umgekehrte Richtung

     a  d  =  b  c    |  b ^ -1 *  |  *  d ^ - 1    (  2a  )

   "  Stern Links " bedeutet " Multiplikation von Rechts " und umgekehrt.

    b ^ - 1  a  (  d d ^ -1  )  =  ( b ^ - 1 b )  c  d ^ - 1    (  2b  )

    Hier voll witzig. In der Richtung ( 2b ) gilt die Aussage sogar für jede Gruppe ( auch ohne Kommutativgesetz )

 

Comments

  Ach ich seh grad: Der will ja noch den Sonderfall a = c = 0 .  Ein Körper ist Nullteiler frei. Man kann sich leicht überlegen, dass die linke Seite von ( 1a ) nur Null werden kann, wenn a = 0 . Dann muss aber auch rechts c = 0 , und ( 1d ) ist trivial erfüllt.

Answer 2

a/b = c/d

Multipliziere die Gleichung mit den beiden Nennern.

Answer 3

vermutlich sollst du zeigen  , dass  a/b  durch Erweitern und/oder Kürzen auf die Form c/d gebracht werden kann, wenn    ad = bc ist.  Was könnt ihr denn benutzen ??? 

Zum Beispiel Regeln des Rechnens ( Addition , Subtraktion )  Dann sähe es so aus:

a / b   =  c / d  heißt   ja 
a / b   -   c / d      =   0     Hauptnenner bilden
ad/bd     -     bc/  bd   =  0  
( ad -  bc) /    bd   =  0    Und ein Bruch ist nur 0, wenn sein Zähler 0 ist,
also    ad -  bc   = 0   .