Ich habe eine Frage zu folgendem Abschnitt, den ich im Analysis-Buch gefunden haben. Es geht um das Thema Ordnungsrelationen bzw. Suprema und Infima /Minima und Maxima.
4.6 Beispiele
(a) Es sei \( \mathfrak{A} \) eine nichtleere Teilmenge von \( \mathfrak{P}(X) . \) Dann gilt:
\( \sup (\mathfrak{A})=\bigcup \mathfrak{A}, \quad \inf (\mathfrak{A})=\bigcap \mathfrak{A} \)
(b) Es sei \( X \) eine Menge mit mindestens zwei Elementen und \( \mathfrak{X}:=\mathfrak{B}(X) \backslash\{\emptyset\} \), versehen mit der natürlichen Ordnung. Ferner seien \( A \) und \( B \) zwei nichtleere disjunkte Teilmengen von \( X \) und \( \mathfrak{A}:=\{A, B\} . \) Dann ist \( \mathfrak{A} \subset \mathcal{X} \) und es gilt \( \sup (\mathfrak{A})=A \cup B \).
Aber \( \mathfrak{A} \) besitzt kein Maximum. Ferner ist \( \mathfrak{A} \) nicht nach unten beschränkt. Also existiert insbesondere \( inf( \mathfrak{A} ) \) nicht.
Es geht um den Abschnitt (b). Das Beispiel verstehe ich überhaupt gar nicht: Ich habe es mal an einem Beispiel veranschaulicht:
X={1,2}
\( \mathfrak{X} \) = ({1},{2},{1,2},)
Dann nenne ich A = {1} und B={2}. Somit ist U = ({1},{2})
Dessen Supremum kann man tatsächlich als A U B = {1,2} annehmen, aber {2} ist doch eigentlich das Maximum der Menge U?
