Question

Gegeben ist eine Gerade g durch die Gleichung y=x+1 und eine Funktionenschar f_b durch die Gleichung

f_b=(2x+b)/x mit x∈ℝ, x≠0, b∈ℝ. Die zugehörige Kurvenschar ist K_b. Für genau eine Kurve der Schar K_b ist die Gerade g eine Tangente dieser Kurve. Bestimmen sie den Wert für b und die Koordinaten des Berührpunktes.

Answer 1

f_b=(2x+b)/x  =  2 + b/x  Tangente hat Steigung m=1  also muss beim Berührpunkt  f_b' (x) = 1 gelten

  f_b' (x) = -b / x^2  und   -b / x^2 = 1
                                         -b =  x^2  

und wenn außerdem y =   f_b (x) gelten soll, muss x + 1 =   2 + b/x   sein
                                                                                         x - 1 = b/x
                                                                                     x^2 - x  - b = 0  also mit      -b =  x^2
                                                                                    2x^2 - x = 0
                                                                  x * ( 2x - 1 ) = 0
                                                                    x = 0  oder  x = 1/2
Da 0 nicht im Definitionsbereich liegt, ist x = 1/2 die gesuchte Stelle und der
Wert für b ist  wegn      -b =  x^2  =  1/4    also    b = -1/4

Answer 2

f(x) = g(x)

(2·x + b)/x = x + 1

2·x + b = x^2 + x

x^2 - x - b = 0

x = 1/2 ± √(1/4 + b)

Für 1/4 + b = 0 --> b = 1/4 gibt es nur eine Lösung. Das muss dann die Tangente sein. Die Berührstelle ist dann bei 1/2.

g(1/2) = 3/2 --> Berührpunkt (1/2 | 3/2)