Wie ist eine Zahl so in 2 positive Faktoren zu zerlegen, dass ihre Summe am kleinsten wird?

Question

kann jemand das erklären ?

danke im voraus

Answer 1

Hallo josun.king,

analog zur Rechteck-Geometrie: Ein Rechteck mit gegebenem Flächeninhalt hat dann den kleinsten Umfang, wenn es ein Quadrat ist.

Nehmen wir als Beispiel die Zahl 100:

1 * 100 | 1 + 100 = 101

2 * 50 | 2 + 50 = 52

4 * 25 | 4 + 25 = 29

5 * 20 | 5 + 20 = 25

10 * 10 | 10 + 10 = 20

Die beiden Faktoren sollten also "möglichst nahe bei einander liegen".

(Die gegebene Zahl muss ja nicht unbedingt eine Quadratzahl sein!)

Besten Gruß

Comments

schlechte Antwort. Obwohl korrekt.

Answer 2

z = Zahl
x * y = z
y = z / x

S = Summe
s =  x + y
s = x + z / x
s ´ ( x ) =  1 - z / x^2

Der Extremwert wäre
s ( x ) ´ = 0
1 - z / x^2 = 0
z / x^2 = 1
x^2 = z
x = √ z

Beispiel
z = 9
x = √ 9 = 3

Nachweis das Minimum
s ´´ ( x )  =  2  * z / x^3
s ´´( 3 ) = 2 * z / 3^3 = positiv => minimum

Answer 3

Beschaffe Dir ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 2 FE und sieh zu, dass dessen Umfang minimal ist.