Summe in Einzelsummen zerlegen

Question

Hi,

ich habe diese Summe und möchte Sie gerne in Einzelsummen zerlegen:

$$ \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ (2{ i }^{ 2 }+3) }  $$

Ich habe den konstanten Faktor schon herausgezogen (kann man ja machen) nur die +3 stört mich etwas.

Meine potenzielle Lösung ist:

$$ \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ (2{ i }^{ 2 }+3) } =\quad 2*\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ ({ i }^{ 2 }) } +3 $$

Ist das richtig?

Answer 1

Ich habe den konstanten Faktor schon herausgezogen (kann man ja machen) nur die +3 stört  mich etwas.

Der vorgezogene Faktor müsste aus allen Summanden unter der Summe ausgeklammert werden.

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Du kannst die  "∑ über eine Summe"  in Teil-∑  über die einzelnen Summanden zerlegen:

\(\sum\limits_{i=1}^{5} (2i^2+3)\) = \(\sum\limits_{i=1}^{5} (2i^2)\)  +  \(\sum\limits_{i=1}^{5} 3\)  =  \(\sum\limits_{i=1}^{5}(2i^2\)) + 5·3 = 2·\(\sum\limits_{i=1}^{5} (i^2)\) + 15

\(\sum\limits_{i=1}^{5} (2i^2)\) = 2·\(\sum\limits_{i=1}^{5} i^2\)  [ hier kannst du den konstanten Faktor vorziehen ]

Bei \(\sum\limits_{i=1}^{5} 3\)  hast du 5-mal den Summanden 3

Gruß Wolfgang

Comments

D.h um die 3 in der Summe weg zu bekommen muss man immer mit dem Endwert multiplizieren?

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In der Aufgabe ja.

Aber sonst nicht ganz!  Bei konstanten Summanden k ergibt sich  (i_End - i_Anfang + 1) * k

Deine Aussage stimmt also nur für i = 1, weil nur dann die Anzahl der Summanden = i_Endwert  ist.

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Gut, das verstehe ich soweit. Ich versuche mich aber noch an anderen Aufgaben, damit ich das besser lerne.

Hast du vielleicht eine Hilfestellung, bzw. eine Seite, wo das gut erklärt wird. Vielleicht auch Beispielaufgaben?

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Vielleicht

hier      und hier ein paar  Aufgaben  mit Lösung

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Achso Wolfgang, ich habs gerade nochmal nachgelesen Addition einer Konstanten bei Summen. Dort gilt, wie du sagst:

(n-m+1)*c | Habs jetzt also nachgelesen und verstanden.

Vllt das noch. Ich hatte noch zwei Aufgaben:

Ebenfalls wieder zerlegen in Teilsummen:

$$ \sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (8{ i }^{ 2 }+4i-2) } =\quad \sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (8{ i }^{ 2 }) } +\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (4{ i }^{ 2 }) } +\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (-2)=\quad 4*\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (2{ i }^{ 2 }+i)-12 }  }  $$

bzw:

$$ \sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (8{ i }^{ 2 }+4i-2) } =\quad \sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (8{ i }^{ 2 }) } +\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (4{ i }^{ 2 }) } +\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ (-2)=\quad 8*\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ ({ i }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } i)-12 }  }  $$

Und Aufgabe 2:

$$ \sum _{ i=1 }^{ 8 }{ (\frac { 1 }{ 2 } { i }^{ 3 }+{ 6i }^{ 2 }) } =\sum _{ i=1 }^{ 8 }{ (\frac { 1 }{ 2 } { i }^{ 3 }) } +\sum _{ i=1 }^{ 8 }{ ({ 6i }^{ 2 }) } =\frac { 1 }{ 2 } *\sum _{ i=1 }^{ 8 }{ ({ i }^{ 3 }+{ 3i }^{ 2 }) }  $$

Ist das korrekt? Danke mal wieder ;-)

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1. und 2. Zeile richtig

3. Zeile:  Hinten muss statt der 3 eine 12 stehen. [ 6 = 1/2 * 12 ]

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HA :D

Danke ja da stimme ich dir zu!

Bei einer Aufgabe deines Links bin ich gerade noch am überlegen:

$$ \sum _{ i=4 }^{ 7 }{ (\frac { n! }{ (n-2)!(n-(n-2))! } ) } =\sum _{ i=4 }^{ 7 }{ (\frac { n! }{ (n-2)!(2)! } ) } =\sum _{ i=4 }^{ 7 }{ (\frac { n(n-1) }{ (2)! } ) }  $$

Der Schritt auf n(n-1)/2! ist mir noch nicht ganz klar. Ich habe aber eine Vermutung  (n n-k) = (n k)