Kleinste positive Nullstelle von y=2sin(1/3x+π/6)+1

Question

Hallo

Ich habe die Funktion y=2sin(1/3x+π/6)+1

Die Periodenlänge konnte ich berechnen, diese beträgt 6π

Nun musste ich die kleinste positive Nullstelle berechnen. Diese habe ich mit 0+6π/2 berechnet dies ergibt die Lösung 3π. 

Bei der nächsten Aufgabe habe ich folgende Funktion: y=cos(5/2x-π/4)-1/2

Die Periodenlänge konnte ich berechnen, diese beträgt 4π/5. 

Doch wie kann ich bei einer Kosinusfunktion die Nullstelle berechnen?

Bei der Nullstelle der Sinusfunktion bin ich mir ebenfalls nicht ganz sicher, ob die Berechnung so stimmt, oder ob ich das Resultat nur zufällig erhalten habe. Denn ich finde es ein wenig seltsam, dass ich hier die Verschiebung nach links nicht beachten musste.

Comments

Sollte deine Funktion lauten

y = 2 * sin ( 1/3 * x + π/6 )+1

so habe ich eine Periodenlänge von 4 PI heraus
sowie die kleinste positive Nullstelle bei 3 * PI

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Die Lösung für die kleinste positive Nullstelle = 3π ist korrekt. Wie hast du dies berechnet?

Die Periodenlänge ist leider nicht ganz korrekt, diese beträgt gemäss den Lösungen 6π

Answer 1

Hier meine Berechnungen für
f ( x ) = 2 * sin ( 1/3 * x + π / 6 ) + 1

Die Periodenlänge ist also 6 * π.

Eine Nullstelle ist bei x = - π

Dies ist aber nicht die kleinste positive Nullstelle. Hier der Graph

Der Graph zeigt wann
sin ( 1/3 * x + π / 6 ) = -1/2 ( siehe handschriftliches oben )
ist.

Eine einfache Möglichkeit zur Berechnung habe ich noch nicht
herausgefunden.

Eine etwas umständliche Lösung wäre :
- Maxium bestimmen
f ´( x ) = cos ( 1/3 * x + π / 6 ) * 1/3
cos ( 1/3 * x + π / 6 ) * 1/3 = 0
x = π 
- Die Funktion ist symmetrisch zu x = π
Nächste Nullstelle
Differenz = 1. Nullstelle zu Symmetrieachse  π - ( - π )  = 2 * π
Symmetrieachse + Differenz = nächste Nullstelle
2 * π + π = 3 * π

kleinste positive Nullstelle x = 3 * π

Wie gesagt : der Lösungsweg erscheint mir etwas umständlich.
Wer weiß etwas einfacheres ?

Comments

Oke die Lösungene stimmen aber gerade der Weg für die erste positive Nullstelle ist echt kompliziert. 

Meine Überlegung war noch, man weiss ja, dass die Periodenlänge 6π beträgt, die halbe Periodenlänge entsprechend 3π. Es sollte doch immer nach einer halben Periodenlänge eine Nullstelle auftreten. 

Eine Nullstelle hast du oben berechnet und -π erhalten. Wenn man jetzt aber -π + 3π erhält man 2π was ja falsch ist.. Weiss jemand warum man das hier nicht so berechnen kann?

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Für die Berechnung der Nullstellen sowie deren Abstand bei der allgemeinen Sinusfunktion y=a·sin(bx+c) habe ich folgende Formel. Leider weiss ich nicht genau wie ich die auf meine Aufgabe anwenden kann. 

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Eine Nullstelle hast du oben berechnet und -π erhalten. Wenn man jetzt
aber -π + 3π erhält man 2π was ja falsch ist..
Weiss jemand warum man das hier nicht so berechnen kann? 

Weil der Graph nach oben verschoben ist.

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f ( x ) = 2 * sin ( 1/3 * x + π / 6 ) + 1

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Natürlich, die Verschiebung sollte man auch noch beachten..

Answer 2

bedenke: cos( 5*pi / 3) = 1/2

Das dürfte schon helfen.

Comments

Hm beziehst du das auf die Verschiebung -1/2?

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wenn du eine Nullstelle von  y=cos(5/2x-π/4)-1/2suchst, muss doch

cos(5/2x-π/4)    =   1/2    sein.

Ach so, ich hatte "kleinste" übersehen.

Das wäre dann   cos ( pi/3) = 1/2

Und um das x auszurechnen also

5/2x-π/4 = pi/3

gibt x = 7*pi/30

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Habe ich das richtig verstanden, dass du den Arcuscosinus von 1/2 genommen hast, um π/3 zu erhalten?

Und stimmt es, dass man diese vorgehen bei der Sinusfunktion nicht anwenden kann? 

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genau, und dann natürlich schauen, ob das wirklich den kleinsten pos. Wert

für x liefert.

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Danke das verstehe ich nun. 

Nur wegem dem Nachprüfen ob es die kleinste Nullstelle ist, weisst du da auch gerade einen einfachen Weg?

Oder wie würdest du das überprüfen?

Ich dachte zuerst ich könnte es mit der Hälfte der Periodenlänge überprüfen aber das geht ja nicht wegen der Verschiebung..

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Es war ja    cos ( pi/3) = 1/2  gibt für x= = 7*pi/30.

Weil der Term im cos, also 5/2x-π/4 in x linear ist,

kannst du ja einfach die "Nachbarn" von der 1/2 - Stelle prüfen:

(kann man sich leicht am cos-Graphen vorstellen)

linker Nachbar

cos ( - pi/3) = 1/2  gibt für x= -pi/30 negativ

rechter Nachbar

cos ( 5*pi/3) = 1/2  gibt für x= = 23*pi/30ist also größer.

also ist  x= = 7*pi/30 der kleinste pos. Wert.

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@jb135
Die Vorgehensweise von mathef könnte man auch beim sin - Beispiel
verwenden. Dies erbringt aber nur einen kleinen Vorteil.

@mathef
Solltest du unter Langeweile leiden könntest du einmal unter

https://www.mathelounge.de/248213/analysis-ubungsaufgabe-furs-abitur

nach der Aufgabe sehen. Ich finde auf viele Fragen keine Antworten.

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Die Aufgabe mit dem Cosinus habe ich nun verstanden. 

Aber wenn ich dasselbe System beim Sinussatz anwende, erhalte ich falsche Resultate. Dann erhate ich für die kleinste Nullstelle den Wert Pi. 

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2 * sin ( 1/3 * x + π / 6 ) + 1= 0

sin ( 1/3 * x + π / 6 )= -1/2 

arcsin(-1/2) = -pi/6

1/3 * x + π / 6  =  -pi/6

1/3 * x = -2pi/6   = -pi/3

x =  -pi also negativ.

Nachbarn:

1/3 * x + π / 6  =  7*pi/6

1/3 * x   =  pi

   x = 3pi passt.

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Hast du die Nachbarn auch wieder aus dem Graphen abgelesen oder wie konntest du die berechnen?

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mit etwas Überlegung abgelesen.

sin ist ja achsensymmetrisch bzgl x= pi/2

von pi/2 bis zur bekannten  -1/2 - Stelle -pi/6

sind es 2/3 pi nach links, also ist um 2/3 pi

nach rechts von pi/2 die nächste Stelle mit

sin(x)= -1/2

und das ist dann bei x= 7/6 pi.

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Ok. Ich glaub ich habs verstanden.