Funktionenschar untersuchen: f(x)=x³+ax²+(a-1)x

Question

Sitze gerade an folgender Aufgabe:

Durch f_a(x)=x³+ax²+(a-1)x ist eine Funktionenschar gegeben. Die zugehörigen Graphen seien K_a.

1.Zeige, dass alle Graphen K_a zwei Punkte gemeinsam haben:

2.An welcher Stelle x₀ haben alle Graphen K_a die gleiche Steigung? Wie groß ist diese?

3.Die 2. Winkelhalbierende schneidet jeden Graph K_a. Für welche a gibt es genau einen (2;3) Schnittpunkte?

Answer 1

Die ersten zwei Aufgaben:

1. Wenn x= 0 ist, ist für alle a y= 0

Wenn x = -1 ist, ist für alle Funktionen y = -1 + a - a+1 = 0

2.   Ableitung: f_a'(x)=3x²+2ax+a-1

2ax = -a   (dann fällt das a weg)

x=-1/2

y= 3*1/4 -1= -1/4

 

Answer 2

Zur 3. Aufgabe.

Normalerweise ist mit der 2. Winkelhalbierenden f(x) = - x gemeint. 

 f_a(x)=x³+ax²+(a-1)x

Nun setze ich die beiden Funktionsgleichungen gleich, um die Schnittstellen zu bestimmen.

-x = x³+ax²+(a-1)x                |+x

0 = x³+ax²+ax = x( x²+ax+a)

Einen Schnittpunkt gibt es immer an der Stelle x₁=0

Obe es einen 2. einen 3. oder nur diesen ersten Schnittpunkt gibt, entscheidet sich beim Vorzeichen der Diskriminante

d = b²- 4ac                   Achtung: hier für a=1, b =a, c=a einsetzen.

d = a² - 4a = a (a-4)

a(a-4) = 0 → a=0 oder a=4 : genau 2 Schnittpunkte

a(a-4) < 0 → 0<a<4         :genau ein Schnittpunkt

a(a-4) > 0 → a<0 oder a>4       : 3 genau Schnittpunkte